Признаки делимости

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

При́знак дели́мости — алгоритм, позволяющий сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному[1]. Если признак делимости позволяет выяснить не только делимость числа на заранее заданное, но и остаток от деления, то его называют признаком равноостаточности.

Как правило, признаки делимости применяются при ручном счёте и для чисел, представленных в конкретной позиционной системе счисления (обычно десятичной).

Содержание

Понятия делимости, равноделимости и равноостаточности[править | править вики-текст]

Если для двух целых чисел и существует такое целое число что

то говорят, что число делится на

Два целых числа и называются равноделимыми на если либо они оба делятся на либо оба не делятся[2].

Два целых числа и равноостаточны при делении на натуральное число (или сравнимы по модулю ), если при делении на они дают одинаковые остатки, то есть существует такие целые числа что

Общие принципы построения[править | править вики-текст]

Пусть требуется определить, делится ли некоторое натуральное число на другое натуральное число Для этого будем строить последовательность натуральных чисел:

такую, что:

  1. каждый член последовательности вполне определяется предыдущим;
  2. последний член последовательности меньше то есть
  3. все члены последовательности являются равноделимыми на

Тогда если последний член этой последовательности равен нулю, то делится на в противном случае на не делится.

Способ (алгоритм) построения такой последовательности и будет искомым признаком делимости на Математически он может быть описан с помощью функции определяющей каждый следующий член последовательности в зависимости от предыдущего:

удовлетворяющей следующим условиям:

  1. при значение не определено;
  2. при значение есть натуральное число;
  3. если то
  4. если то и равноделимы на

Если требование равноделимости для всех членов последовательности заменить на более строгое требование равноостаточности, то последний член этой последовательности будет являться остатком от деления на а способ (алгоритм) построения такой последовательности будет признаком равноостаточности на В силу того, что из равенства остатка при делении на нулю следует делимость на , любой признак равноостаточности может применяться как признак делимости. Математически признак равноостаточности тоже может быть описан с помощью функции определяющей каждый следующий член последовательности в зависимости от предыдущего:

удовлетворяющей следующим условиям:

  1. при значение не определено;
  2. при значение есть натуральное число;
  3. если то
  4. если то и равноостаточны при делении на

Примером такой функции, определяющей признак равноостаточности (и, соответственно, признак делимости), может быть функция

а последовательность, построенная с её помощью будет иметь вид:

По сути применение признака равноостаточности на базе этой функции эквивалентно делению при помощи вычитания.

Другим примером может служить общеизвестный признак делимости (а также равноостаточности) на 10.

Если последняя цифра в десятичной записи числа равна нулю, то это число делится на 10; кроме того, последняя цифра будет являться отстатком от деления исходного числа на 10.

Математически этот признак равноостаточности может быть сформулирован следующим образом. Пусть надо выяснить остаток от деления на 10 натурального числа представленного в виде

Тогда остатком от деления на 10 будет . Функция, описывающая это признак равноостаточности будет выглядеть как

Легко доказать, что эта функция удовлетворяет всем перечисленным выше требованиям. Причём последовательность, построенная с её помощью, будет содержать всего один или два члена.

Также легко видеть, что такой признак ориентирован именно на десятичное представление числа  — так, например, если применять его на компьютере, использующем двоичную запись числа, то чтобы выяснить , программе пришлось бы сначала поделить на 10.

Для построения признаков равноостаточности и делимости чаще всего используется следующие теоремы:

  1. При любых целом и натуральном целые числа и равноостаточны при делении на
  2. При любых целом , натуральном , целые числа и равноделимы на если целое является взаимно простым с


Признаки делимости в десятичной системе счисления[править | править вики-текст]

Признак делимости на 2[править | править вики-текст]

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.

Соответствующая признаку функция (см. раздел «Общие принципы построения»):

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности.

На 2 (два) делятся все числа, у которых последней цифрой является 0 (ноль), 2 (два), 4 (четыре), 6 (шесть), 8 (восемь). Другими словами, если число оканчивается на ноль, два, четыре, шесть, восемь, то оно делится на два. Например: числа 120 (сто двадцать), 52 (пятьдесят два), 274 (двести семьдесят четыре), 16 (шестнадцать), 2 098 (две тысячи девяносто восемь) делятся на 2 (два). Числа 101 (сто один), 13 (тринадцать), 7 565 (семь тысяч пятьсот шестьдесят пять), 7 (семь), 19 (девятнадцать) не делятся на 2 (два), поскольку при делении этих чисел в остатке остается одна 1 (единица).

Если число делится на 2 (два), то его называют четным числом. Если же число не делится на 2 (два), то такое число называют нечетным. Все четные числа оканчиваются на одну из следующих цифр: 0, 2, 4, 6, 8. Все нечетные числа оканчиваются цифрой 1, 3, 5, 7, 9. Понятие четные и нечетные числа - одно из основных понятий математики. Примером применения четных и нечетных чисел в повседневной жизни могут служить расписания движения поездов, когда поезда отправляются только по четным или только по нечетным числам.

Признак делимости на 3[править | править вики-текст]

Число делится на 3, когда сумма его цифр делится на 3.

Соответствующая признаку функция:

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности. Например, числа 154, и равноостаточны при делении на 3.

Число 159 (сто пятьдесят девять) делится на 3 (три), поскольку сумма его цифр

1 + 5 + 9 = 15

(пятнадцать) делится на 3 (три)

15 : 3 = 5

и дает в результате 5 (пять). Если разделить на 3 (три) взятое нами число

159 : 3 = 53

получится пятьдесят три.

Признак делимости на 3 (три) распространяется и на сумму цифр любого числа. Проверим делимость на 3 числа 1 234 567 890 (один триллион двести тридцать четыре миллиона пятьсот шестьдесят тысяч восемьсот девяносто). Находим сумму цифр этого числа

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 0 = 45

Еще раз находим сумму цифр для числа 45 (сорок пять):

4 + 5 = 9

Число 9 (девять)делится на 3 и дает в результате число 3. Следовательно, число 1 234 567 890 делится на 3:

1 234 567 890 : 3 = 411 522 630

в результате получится четыреста одиннадцать миллионов пятьсот двадцать две тысячи шестьсот тридцать.

Рассмотрим еще один пример. Проверим делимость на 3 числа 29 443 680 100 259 (двадцать девять триллионов четыреста сорок три миллиарда шестьсот восемьдесят миллионов сто тысяч двести пятьдесят девять). Находим сумму цифр:

2 + 9 + 4 + 4 + 3 + 6 + 8 + 0 + 1 + 0 + 0 + 2 + 5 + 9 = 53

Теперь находим сумму цифр числа 53 (пятьдесят три):

5 + 3 = 8

Число 8 не делится на число 3, следовательно число 29 443 680 100 259 не может быть поделено на число 3 без остатка:

29 443 680 100 259 : 3 = 9 814 560 033 419 и 2 в остатке

(девять триллионов восемьсот четырнадцать миллиардов пятьсот шестьдесят миллионов тридцать три тысячи четыреста девятнадцать и два в остатке).

Признак делимости на 4[править | править вики-текст]

Число делится на 4, когда две последние цифры нули или составляют число, делящееся на 4. Например, 14676 — последние цифры 76, и число 76 делится на 4: 76:4=19. Двузначное число делится на 4 тогда и только тогда, когда удвоенное число десятков, сложенное с цифрой в разряде единиц делится на 4. Например, число 42 не делится на 4, так как не делится на 4.

Соответствующая признаку функция:

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности. Например, числа 87, и равноостаточны при делении на 4.

Более простая формулировка: Число делится на 4, если в последнем разряде 0, 4, 8, а предпоследний разряд чётный; или если в последнем разряде 2, 6, а предпоследний разряд нечётный.

Специально для проверки делимости чисел на 4 на отдельной странице размещена таблица умножения на 4 первых тридцати натуральных чисел. На этой же странице приведены математические примеры определения делимости чисел на 4 (четыре).

Признак делимости на 5

Признаки делимости целых чисел: на 5 (пять) делятся числа, которые оканчиваются цифровой 0 (нуль) или 5 (пять). Число 590 (пятьсот девяносто) делится на 5 (пять), поскольку оно оканчивается на цифру 0 (ноль):

590 : 5 = 118

в результате деления получается сто восемнадцать.

Число 1 375 (тысяча триста семьдесят пять) так же делится на 5 (пять), так как оно оканчивается цифрой 5 (пять):

1 375 : 5 = 275

в математическом результате деления частное составит двести семьдесят пять.

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на 0 или на 5.

Соответствующая признаку функция:

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности.

Признак делимости на 6[править | править вики-текст]

Число делится на 6 тогда, когда оно делится и на 2, и на 3 (то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3).

Другой признак делимости: число делится на 6 тогда и только тогда, когда учетверённое число десятков, сложенное с цифрой в разряде единиц, делится на 6.

Например, число 948 (девятьсот сорок восемь) делится на 6 (шесть), поскольку оно является четным и сумма его цифр делится на 3 (три):

9 + 4 + 8 = 21

Снова находим сумму цифр числа 21 (двадцать один):

2 + 1 = 3

В математике деление взятого нами числа 948 (девятьсот сорок восемь) на 6 (шесть) можно записать так:

948 : 6 = 158

в результате получается число сто пятьдесят восемь.

Соответствующая признаку функция:

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности. Например, числа 73, и равноостаточны при делении на 6.

Признак делимости на 7[править | править вики-текст]

Признак 1: число делится на 7 тогда, когда утроенное число десятков, сложенное с цифрой в разряде единиц, делится на 7. Например, 154 делится на 7, так как на 7 делится 1001 делится на 7, так как на 7 делятся

Соответствующая этому признаку функция:

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности. Например, числа 87, и равноостаточны при делении на 7.

Признак 2: число делится на 7 тогда и только тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по три цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «-» делится на 7. Например, 138 689 257 делится на 7, так как на 7 делится

Соответствующая этому признаку функция:

Признак 3: зачеркнув в данном числе три последние цифры, вычитают из числа, образованного оставшимися цифрами, число, образованное зачёркнутыми цифрами (или наоборот, в зависимости от того, какое из них больше); если остаток равен нулю или делится на 7, то данное число разделится на 7

Признак 4: удвоение единицы числа отнять от оставшегося числа, то есть все кроме единиц и разница будет делиться на 7, то число кратно 7. Например: 784=78-(2×4)=78-8=70

Для начала рассмотрим число 14 (четырнадцать). В этом числе 1 (один) десяток и 4 (четыре) единицы. Проверим его делимость по математическим правилам, соблюдая порядок выполнения математических действий:

1 - 4 х 2 = 1 - 8 = -7

Число -7 (минус семь) делится на 7 (семь) и дает в результате -1 (минус единицу). Следовательно, число 14 (четырнадцать) так же делится на 7 (семь):

14 : 7 = 2

в результате получается два.

Теперь рассмотрим делимость числа 21 (двадцать один). Здесь мы имеем 2 (два) десятка и 1 (одну) единицу. Проверяем делимость этого числа на 7 (семь): 2 - 1 х 2 = 2 - 2 = 0

Число 0 (нуль)делится не только на 7 (семь), но и на все числа, и дает в результате 0 (нуль). Таким образом, число 21 (двадцать один) делится на 7 (семь):

21 : 7 = 3

частное равняется трем.

В заключение рассмотрим более сложный пример признака делимости на 7 (семь). Проверим делимость числа 86 576 (восемьдесят шесть тысяч пятьсот семьдесят шесть). В этом числе 8 657 (восемь тысяч шестьсот пятьдесят семь) десятков и 6 (шесть) единиц. Приступаем к проверке делимости этого числа на 7 (семь):

8657 - 6 х 2 = 8657 - 12 = 8645

Снова проверяем делимость на 7 (семь), теперь уже полученного нами числа 8 645 (восемь тысяч шестьсот сорок пять). Теперь у нас 864 (восемь шестьдесят четыре) десятка и 5(пять) единиц:

864 - 5 х 2 = 864 - 10 = 854

Опять повторяем наши действия для числа 854 (восемьсот пятьдесят четыре), в котором 85 (восемьдесят пять) десятков и 4 (четыре) единицы:

85 - 4 х 2 = 85 - 8 = 77

В принципе, уже невооруженным глазом видно, что число 77 (семьдесят семь) делится на 7 (семь) и в результате получается 11 (одиннадцать). Для не верящих сделаем последний шаг, с 7 (семью) десятками и 7 (семью) единицами:

7 - 7 х 2 = 7 - 14 = -7

Подобный результат мы уже рассматривали выше.

После длительного математического исследования нам удалось установить, что число 86 576 (восемьдесят шесть тысяч пятьсот семьдесят шесть) делится на на 7 (семь):

86576 : 7 = 12368

в результате деления получаем двенадцать тысяч триста шестьдесят восемь.

Признак делимости на 8[править | править вики-текст]

Число делится на 8, когда три последние цифры составляют число, делящееся на 8. Трёхзначное число делится на 8 тогда и только тогда, когда цифра в разряде единиц, сложенная с удвоенной цифрой десятков и учетверённой цифрой сотен, делится на 8. Например, 952 делится на 8 так как на 8 делится

Соответствующая признаку функция:

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности. Например, числа 567, и равноостаточны при делении на 8.

Признак делимости на 9[править | править вики-текст]

Число делится на 9, когда сумма его цифр делится на 9. Например, сумма цифр числа 12345678 делится на 9, следовательно и само число делится на 9.

Соответствующая признаку функция:

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности. Например, числа 345, и равноостаточны при делении на 9.

Признак делимости на 10[править | править вики-текст]

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.

Соответствующая этому признаку функция:

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности.

Признаки делимости на 11[править | править вики-текст]

Признак 1: число делится на 11 тогда и только тогда, когда модуль разности между суммой цифр, занимающих нечётные позиции, и суммой цифр, занимающих чётные места, делится на 11. Например, 9 163 627 делится на 11, так как делится на 11. Другой пример — 99077 делится на 11, так как делится на 11.

Соответствующая этому признаку функция:

Признак 2: число делится на 11 тогда и только тогда, когда на 11 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц). Например, 103785 делится на 11, так как на 11 делятся и

Соответствующая признаку функция:

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности. Например, числа 123456, и равноостаточны при делении на 11.

Признак 3: зачеркнув в данном числе три последние цифры, вычитают из числа, образованного оставшимися цифрами, число, образованное зачеркнутыми цифрами (или наоборот, в зависимости от того, какое из них больше); если остаток равен нулю или делится на 11, то данное число разделится.

Признак делимости на 13[править | править вики-текст]

Признак 1: Число делится на 13, когда сумма числа десятков с учетверенной цифрой в разряде единиц делится на 13. Например 845 делится на 13, так как на 13 делятся и

- когда разность числа десятков с девятикратным числом единиц делится на 13. Например 845 делится на 13, так как на 13 делятся

Соответствующая этому признаку функция:

Признак 2: зачеркнув в данном числе три последние цифры, вычитают из числа, образованного оставшимися цифрами, число, образованное зачеркнутыми цифрами (или наоборот, в зависимости от того, какое из них больше); если остаток равен нулю или делится на 13, то данное число разделится.

Признак делимости на 17[править | править вики-текст]

Число делится на 17 тогда:- когда модуль разности числа десятков и умноженной на 5 цифрой в разряде единиц делится на 17. Например, 221 делится на 17, так как делится на 17.

- когда модуль суммы числа десятков и числа двенадцать умноженной на кол-во единиц делится на 17. Например, 221 делится на 17, так как делится на 17.

Соответствующая этому признаку функция:

Признак делимости на 19[править | править вики-текст]

Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с удвоенной цифрой в разряде единиц, делится на 19. Например, 646 делится на 19, так как на 19 делятся и

Соответствующая этому признаку функция:

Признак делимости на 20[править | править вики-текст]

Число делится на 20 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя последними цифрами, делится на 20.

Другая формулировка: число делится на 20 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа — 0, а предпоследняя — чётная.

Соответствующая этому признаку функция:

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности.

Признаки делимости на 23[править | править вики-текст]

Признак 1: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с утроенным числом, образованным двумя последними цифрами, делится на 23. Например, 28842 делится на 23, так как на 23 делятся и


Признак 2: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с умноженной на 7 цифрой в разряде единиц, делится на 23. Например, 391 делится на 23, так как делится на 23.


Признак 3: число делится на 23 тогда и только тогда, когда число сотен, сложенное с умноженной на 7 цифрой в разряде десятков и утроенной цифрой в разряде единиц, делится на 23. Например, 391 делится на 23, так как делится на 23.

Признак делимости на 25[править | править вики-текст]

Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на 25.

Соответствующая этому признаку функция:

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности.

Признак делимости на 27[править | править вики-текст]

Число делится на 27 тогда и только тогда, когда на 27 делится сумма чисел, образующих группы по три цифры (начиная с единиц).

Соответствующая признаку функция:

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности.

Признак делимости на 29[править | править вики-текст]

Число делится на 29 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с утроенной цифрой в разряде единиц, делится на 29. Например, 261 делится на 29, так как делится на 29.

Соответствующая этому признаку функция:

Признак делимости на 30[править | править вики-текст]

Число делится на 30 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на 0 и сумма всех цифр делится на 3. Например: 510 делится на 30, а 678 - нет.

Признак делимости на 31[править | править вики-текст]

Число делится на 31 тогда и только тогда, когда модуль разности числа десятков и утроенной цифры в разряде единиц делится на 31. Например, 217 делится на 31, так как делится на 31.

Соответствующая этому признаку функция:

Признак делимости на 37[править | править вики-текст]

Признак 1: число делится на 37 тогда и только тогда, когда при разбивании числа на группы по три цифры (начиная с единиц) сумма этих групп кратна 37.

Соответствующая признаку функция:

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности.

Признак 2: число делится на 37 тогда и только тогда, когда на 37 делится модуль утроенного числа сотен, сложенного с учетверённой цифрой в разряде десятков, за вычетом цифры в разряде единиц, умноженной на семь. Например, число 481 делится на 37, так как на 37 делится

Соответствующая признаку функция:

Признак 3: число делится на 37 тогда и только тогда, когда на 37 делится модуль суммы числа сотен с цифрой в разряде единиц, умноженной на десять, за вычетом цифры в разряде десятков, умноженной на 11. Например, число 481 делится на 37, так как на 37 делится

Соответствующая признаку функция:

Признак делимости на 41[править | править вики-текст]

Признак 1: число делится на 41 тогда и только тогда, когда модуль разности числа десятков и четырёхкратной цифры в разряде единиц делится на 41. Например, 369 делится на 41, так как делится на 41.

Соответствующая этому признаку функция:

Признак 2: чтобы проверить, делится ли число на 41, его следует справа налево разбить на грани по 5 цифр в каждой. Затем в каждой грани первую справа цифру умножить на 1, вторую цифру умножить на 10, третью — на 18, четвёртую — на 16, пятую — на 37 и все полученные произведения сложить. Если результат будет делиться на 41, тогда и только тогда само число будет делиться на 41.

Есть и другие (более удобные) признаки делимости на 41, см. 41 (число).

Признак делимости на 50[править | править вики-текст]

Число делится на 50 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя его младшими десятичными цифрами, делится на 50.

Соответствующая этому признаку функция:

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности.

Признак делимости на 59[править | править вики-текст]

Число делится на 59 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с цифрой в разряде единиц, умноженной на 6, делится на 59. Например, 767 делится на 59, так как на 59 делятся и

Соответствующая этому признаку функция:

Признак делимости на 79[править | править вики-текст]

Число делится на 79 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с цифрой в разряде единиц, умноженной на 8, делится на 79. Например, 711 делится на 79, так как на 79 делятся .

Соответствующая этому признаку функция:

Признак делимости на 99[править | править вики-текст]

Число делится на 99 тогда и только тогда, когда на 99 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры (начиная с единиц). Например, 12573 делится на 99, так как на 99 делится

Соответствующая признаку функция:

Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности. Например, числа 123456, и равноостаточны при делении на 99.

Признак делимости на 101[править | править вики-текст]

Число делится на 101 тогда и только тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по две цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «-» делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как на 101 делится

Соответствующая этому признаку функция:

Общие признаки делимости[править | править вики-текст]

Признак делимости на делитель степени основания системы счисления[править | править вики-текст]

Если для некоторых натуральных и число делится на натуральное то любое целое число записанное в системе счисления по основанию равноостаточно с числом, образованным младшими его цифрами. Это свойство позволяет построить признак делимости и равноостаточности на делитель степени основания системы счисления.

Соответствующая этому признаку функция:

Например, в десятичной системе счисления это позволяет построить признаки делимости на 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40, 50 и т. д.

Признак делимости на делитель [править | править вики-текст]

Если для некоторых натуральных и число делится на натуральное то любое целое число записанное в системе счисления по основанию равноделимо с суммой чисел, образованных разбиением на группы по цифр, начиная с самой младшей. Это свойство позволяет построить признак делимости на

Соответствующая этому признаку функция:

Например, в десятичной системе счисления это позволяет построить признаки делимости на 3, 9, 11, 27, 33, 37, 99, 101, 111, 303, 333, 999, 1111, 3333, 9999 и т. д.

Признак делимости на делитель [править | править вики-текст]

Если для некоторых натуральных и число делится на натуральное то любое целое число записанное в системе счисления по основанию равноделимо с модулем знакопеременной суммы чисел, образованных разбиением на группы по цифр, начиная с самой младшей. Это свойство позволяет построить признак делимости на

Соответствующая этому признаку функция:

Например, в десятичной системе счисления это позволяет построить признаки делимости на 7, 11, 13, 73, 77, 91, 101, 137, 143, 1001, 10001 и т. д.

Признаки делимости в других системах счисления[править | править вики-текст]

Признаки делимости в других системах счисления аналогичны таковым в десятичной. В частности, в любой системе счисления (числа записаны в той системе, в которой мы работаем в данный момент):

  • число делится на 10n, если оно оканчивается на n нулей.

Если основание системы счисления равно 1 по модулю некоторого числа k (то есть остаток от деления основания на k равен 1), то любое число делится на k тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на k без остатка. В частности:

  • число делится на 10−1, если сумма его цифр делится на 10−1;
  • если основание системы счисления нечётное, то число делится на 2, если сумма его цифр делится на 2.

Если основание системы счисления равно k−1 по модулю некоторого числа k, то любое число делится на k тогда и только тогда, когда сумма цифр, занимающих нечётные места, либо равна сумме цифр, занимающих чётные места, либо отличается от неё на число, делящееся на k без остатка. В частности:

  • число делится на 11, если сумма цифр, занимающих нечётные места, либо равна сумме цифр, занимающих чётные места, либо отличается от неё на число, делящееся на 11.

Если основание системы счисления делится на некоторое число k, то любое число делится на k тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на k. В частности:

  • если основание системы счисления чётное, то число делится на 2, если его последняя цифра делится на 2.
  • Признак Паскаля — универсальный признак делимости, позволяющий для любых целых a и b определить, делится ли a на b. Точнее, он позволяет вывести почти все из выше приведённых признаков.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. С практической точки зрения «сравнительно быстро» означает «быстрее, чем можно было бы выполнить фактическое деление» теми же самыми средствами. Причём эффективность этого алгоритма в немалой степени зависит от формы представления чисел и имеющихся в распоряжении вычислительных возможностей.
  2. Воробьев Н. Н. Признаки делимости. — 4-е изд., испр. — М.: Наука, 1988. — С. 42. — (Популярные лекции по математике). — ISBN 5-02-013731-6.

Литература[править | править вики-текст]