Сегмент (геометрия)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Четыре сегмента плоской кривой.

Сегмент плоской кривой — плоская (обычно выпуклая) фигура, заключённая между кривой и её хордой[1].

Наиболее простой и распространённый пример сегмента плоской кривой: сегмент круга.

Характеристики[править | править код]

Основные характеристики сегмента кривой — его ширина, высота, площадь и длина границы.

Сегмент круга[править | править код]

Сегмент круга закрашен зелёным цветом.
Основная статья: Сегмент круга

Длина хорды сегмента круга радиуса и высоты вычисляется по теореме Пифагора:

Площадь сегмента круга радиуса опирающегося на центральный угол радианах)[2]:

Сегмент параболы[править | править код]

Площадь сегмента параболы

Архимед в III веке до н. э. доказал, что площадь сегмента параболы, отсекаемого от неё прямой, составляет 4/3 от площади вписанного в этот сегмент треугольника (см. рисунок).

Сегмент эллипса[править | править код]

Сегмент эллипса (выделен зелёным уветом)
Основная статья: Эллипс

Пусть эллипс задан каноническим уравнением:

Площадь сегмента между дугой, выпуклой влево, и вертикальной хордой, проходящей через точку с абсциссой можно определить по формуле[3]:

Другие виды плоских сегментов[править | править код]

Задача нахождения площади и длины дуги произвольного сегмента требует применения методов интегрального исчисления, которое исторически было создано именно для этой цели.

Площадь[править | править код]

Вычисление площади сегмента кривой

Для вычисления площади сегмента чаще всего удобно выбрать соответствующую хорду кривой в качестве оси абсцисс. Тогда площадь сегмента, то есть площадь под кривой , пересекающей ось абсцисс в точках a и b, равна:

Например, площадь под первой аркой синусоиды вычисляется как интеграл:

Другой пример: площадь сегмента (арки) циклоиды, порождённой кругом радиуса равна то есть втрое больше площади порождающего круга[4].

Длина дуги[править | править код]

Длина произвольной кривой, в том числе дуги сегмента вычисляется по формуле

Например, для вычисления длины первой арки синусоиды необходимо вычислить нормальный эллиптический интеграл Лежандра 2-го рода, который не берётся явно. Поэтому для вычисления подобных интегралов сегодня обычно сразу используют численное интегрирование.

Примечания[править | править код]

  1. Сегмент // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 4. — С. 1100—1101.
  2. Элементарная математика, 1976, с. 512.
  3. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973. — С. 68. — 720 с.
  4. Александрова Н. В. История математических терминов, понятий, обозначений: Словарь-справочник, изд. 3-е. — СПб: ЛКИ, 2008. — С. 213. — 248 с. — ISBN 978-5-382-00839-4.

Литература[править | править код]

  • Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.