Рефлексивное отношение

Рефлексивное отношение — бинарное отношение $R$ на множестве $X$, при котором всякий элемент этого множества находится в отношении $R$ с самим собой.

Формально, отношение $R$ рефлексивно, если $\forall a\in X:\ (aRa)$.

Свойство рефлексивности при заданных отношениях матрицей характеризуется тем, что все диагональные элементы матрицы равняются 1; при заданных отношениях графом каждый элемент имеет петлю — дугу (х, х).

Бинарное отношение $R$ на множестве $X$ является рефлексивным тогда и только тогда, когда его подмножеством является тождественное отношение $id_{X}$ на множестве $X$ ($id_{X}=\{(x,x)|x\in X\}$), то есть $id_{X}\subseteq R$.

Если это условие не выполнено ни для какого элемента множества $X$, то отношение $R$ называется антирефлексивным (или иррефлексивным).

Если антирефлексивное отношение задано матрицей, то все диагональные элементы являются нулевыми. При задании такого отношения графом каждая вершина не имеет петли — нет дуг вида (х, х).

Формально антирефлексивность отношения $R$ определяется как: $\forall a\in X:\ \neg (aRa)$.

Если условие рефлексивности выполнено не для всех элементов множества $X$, говорят, что отношение $R$ нерефлексивно.

Примеры рефлексивных отношений

• отношения эквивалентности:
  • отношение равенства $=\;$
  • отношение сравнимости по модулю
  • отношение параллельности прямых и плоскостей
  • отношение подобия геометрических фигур;
• отношения нестрогого порядка:
  • отношение нестрогого неравенства $\leqslant$
  • отношение нестрогого подмножества $\subseteq$
  • отношение делимости $\,\vdots \,$

Примеры антирефлексивных отношений

• отношение неравенства $\neq \;$
• отношения строгого порядка:
  • отношение строгого неравенства $<\;$
  • отношение строгого подмножества $\subset$
• отношение перпендикулярности прямых (или ортогональности ненулевых векторов) в геометрии.

См. также

• Корефлексивное отношение
• Самоподобие