Подобие
Подо́бие — преобразование евклидова пространства, при котором для любых двух точек , и их образов , имеет место соотношение , при некотором фиксированном , называемым коэффициентом подобия.
Понятие подобия определяется аналогично для метрических, для римановых пространств (см. раздел Обобщения).
История
[править | править код]Подобные фигуры рассматривались в Древней Греции в V—IV веках до нашей эры; они появляются в трудах Гиппократа Хиосского, Архита Тарентского, Евдокса Книдского и в VI книге «Начал» Евклида.
Частные случаи
[править | править код]- Гомотетией называется подобие, имеющее неподвижную точку и сохраняющее ориентацию.
- Движением называется преобразование подобия с коэффициентом , то есть преобразование плоскости, сохраняющее расстояния.
Связанные определения
[править | править код]- Фигура называется подобной фигуре , если существует преобразование подобия, при котором .
- Подобие фигур является отношением эквивалентности.
- Для обозначения подобия обычно используется значок — означает, что фигуры и подобны.
Метод подобия
[править | править код]Подобие фигур применяется к решению многих задач на построение.
Метод подобия состоит в том, что, пользуясь некоторыми данными задачи, строят сначала фигуру, подобную искомой, а затем переходят к искомой. Этот метод особенно удобен тогда, когда только одна данная величина есть длина, а все прочие величины — или углы, или отношения линий.
Классическим примером задачи на метод подобия является построение окружности, касающейся двух сторон данного угла и проходящей через данную точку.[1]
Свойства
[править | править код]- Подобие есть взаимно однозначное отображение евклидова пространства на себя.
- Подобие является аффинным преобразованием плоскости.
- Подобие сохраняет порядок точек на прямой, то есть если точка лежит между точками , и , , — соответствующие их образы при некотором подобии, то также лежит между точками и .
- Точки, не лежащие на прямой, при любом подобии переходят в точки, не лежащие на одной прямой.
- Подобие преобразует прямую в прямую, отрезок в отрезок, луч в луч, угол в угол, окружность в окружность.
- Подобие сохраняет величины углов между кривыми.
- Подобие с коэффициентом , преобразующее каждую прямую в параллельную ей прямую, является гомотетией с коэффициентом или .
- Каждое подобие можно рассматривать как композицию движения и некоторой гомотетии с положительным коэффициентом.
- Подобие называется собственным (несобственным), если движение является собственным (несобственным). Собственное подобие сохраняет ориентацию фигур, а несобственное — изменяет ориентацию на противоположную.
- Два треугольника в евклидовой геометрии являются подобными, если
- их соответственные углы равны, или
- стороны пропорциональны. См. также Признаки подобия треугольников.
- Площади подобных фигур пропорциональны квадратам их сходственных линий (например, сторон). Так, площади кругов пропорциональны отношению квадратов их радиусов.
Обобщения
[править | править код]Аналогично определяется подобие (с сохранением указанных выше свойств) в 3-мерном евклидовом пространстве, а также в n-мерном евклидовом и псевдоевклидовом пространствах.
В метрических пространствах так же, как в -мерных римановых, псевдоримановых и финслеровых пространствах подобие определяется как преобразование, переводящее метрику пространства в себя с точностью до постоянного множителя.
Совокупность всех подобий n-мерного евклидова, псевдоевклидова, риманова, псевдориманова или финслерова пространства составляет -членную группу преобразований Ли, называемой группой подобных (гомотетических) преобразований соответствующего пространства. В каждом из пространств указанных типов -членная группа подобных преобразований Ли содержит -членную нормальную подгруппу движений.
См. также
[править | править код]- Гомеоморфизм
- Конгруэнтность (геометрия)
- Конформное отображение
- Масштаб (коэффициент подобия)
- Признаки подобия треугольников
- Пропорциональность
- Самоподобие
- Симметрия
Примечания
[править | править код]- ↑ А. П. Киселёв. Элементарная геометрия / под редакцией Н. А. Глаголева. — 1938.
Ссылки
[править | править код]- Равенство и подобие геометрических фигур.
- Граве Д. А. Гомотетические фигуры // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
- Подобие // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1984. — Т. 4: Ок — Сло. — С. 373. — 1216 стб. : ил. — 150 000 экз.