Подобие

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Подобные фигуры на рисунке имеют одинаковые цвета

Подо́бие — преобразование евклидова пространства, при котором для любых двух точек , и их образов , имеет место соотношение , где — коэффициент подобия.

Открытие[править | править вики-текст]

Учение о  подобии фигур было создано в Древней Греции в V—IV вв. до н. э. трудами Гиппократа Хиосского, Архита Тарентского, Евдокса Книдского и др. Оно изложено в VI книге «Начал» Евклида.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Каждая гомотетия является подобием.
  • Каждое движение (в том числе и тождественное) также можно рассматривать как преобразование подобия с коэффициентом .

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Фигура называется подобной фигуре , если существует преобразование подобия, при котором .

Свойства[править | править вики-текст]

  • Подобие есть взаимно однозначное отображение евклидова пространства на себя.
  • Подобие является афинным преобразованием плоскости.
  • Подобие сохраняет порядок точек на прямой, то есть если точка лежит между точками , и , ,  — соответствующие их образы при некотором подобии, то также лежит между точками и .
  • Точки, не лежащие на прямой, при любом подобии переходят в точки, не лежащие на одной прямой.
  • Подобие преобразует прямую в прямую, отрезок в отрезок, луч в луч, угол в угол, окружность в окружность.
  • Подобие сохраняет величины углов между кривыми.
  • Подобие с коэффициентом , преобразующее каждую прямую в параллельную ей прямую, является гомотетией с коэффициентом или .
    • Каждое подобие можно рассматривать как композицию движения и некоторой гомотетии с положительным коэффициентом.
    • Подобие называется собственным (несобственным), если движение является собственным (несобственным). Собственное подобие сохраняет ориентацию фигур, а несобственное — изменяет ориентацию на противоположную.
  • Два треугольника являются подобными, если
  • Площади подобных фигур пропорциональны квадратам их сходственных линий (например, сторон). Так, площади кругов пропорциональны отношению квадратов их радиусов.

Обобщения[править | править вики-текст]

Аналогично определяется подобие (с сохранением указанных выше свойств) в 3-мерном евклидовом пространстве, а также в n-мерном евклидовом и псевдоевклидовом пространствах.

В метрических пространствах так же, как в -мерных римановых, псевдоримановых и финслеровых пространствах подобие определяется как преобразование, переводящее метрику пространства в себя с точностью до постоянного множителя.

Совокупность всех подобий n-мерного евклидова, псевдоевклидова, риманова, псевдориманова или финслерова пространства составляет -членную группу преобразований Ли, называемой группой подобных (гомотетических) преобразований соответствующего пространства. В каждом из пространств указанных типов -членная группа подобных преобразований Ли содержит -членную нормальную подгруппу движений.

Обозначение[править | править вики-текст]

Для обозначения подобия используется значок ~.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]