Комплексная амплитуда: различия между версиями
[непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
Нет описания правки |
Д.Ильин (обсуждение | вклад) →Применение: -дизамб. уточнение |
||
Строка 49: | Строка 49: | ||
* Не содержит зависимости от времени |
* Не содержит зависимости от времени |
||
* Позволяет использовать векторные диаграммы для анализа цепей на переменном токе |
* Позволяет использовать векторные диаграммы для анализа цепей на переменном токе |
||
Использование |
Использование комплексных амплитуд и [[Электрический импеданс|импеданс]]ов позволяет [[Метод комплексных амплитуд|свести]] задачу прохождения гармонического сигнала через линейную цепь (описывается системой [[Обыкновенные дифференциальные уравнения|дифференциальных уравнений]]) к более простой задаче, эквивалентной анализу цепи из [[резистор]]ов на [[постоянный ток|постоянном токе]] (описывается системой [[Алгебраическое уравнение|алгебраических уравнений]]). |
||
== См. также == |
== См. также == |
Версия от 18:30, 21 сентября 2015
Компле́ксная амплитуда — комплексная величина, модуль и аргумент которой равны соответственно амплитуде и начальной фазе гармонического сигнала.
Определение
Пусть имеется гармонический сигнал:
Над сигналами, записанными в подобной форме, алгебраически неудобно производить такие арифметические операции, как сложение двух сигналов, вычитание из одного сигнала другого сигнала, умножение сигнала на константу. С целью облегчения этих операций гармонические сигналы представляют в виде комплексного числа, модуль которого равен амплитуде сигнала, а аргумент — фазе сигнала. При этом оригинальный сигнал a(t) равен действительной части данного комплексного числа b(t):
,
где
здесь комплексной амплитудой гармонического сигнала является следующее выражение:
Физический смысл
Алгебраическая форма
Если рассматривать комплексную амплитуду как комплексное число в алгебраической форме, то действительная часть соответствует амплитуде косинусной (синфазной) компоненты, а мнимая — амплитуде синусной (квадратурной) компоненты исходного сигнала. Так, для сигнала (1) имеем:
где
Тригонометрическая форма
Если рассматривать комплексную амплитуду как комплексное число в тригонометрической форме, то модуль соответствует амплитуде исходного гармонического сигнала, а аргумент — сдвигу фазы исходного гармонического сигнала относительно сигнала .
Операции над комплексной амплитудой
К сигналам в пространстве комплексных амплитуд могут быть применены линейные операции. Другими словами, перечисленные ниже операции над комплексными амплитудами:
- умножение комплексной амплитуды на константу
- сложение комплексных амплитуд (соответствующих одной и той же частоте)
- вычитание комплексных амплитуд (соответствующих одной и той же частоте)
- интегрирование комплексной амплитуды по времени
- дифференцирование комплексной амплитуды по времени
приводят к такому же результату, как если бы они были проделаны над соответствующими гармоническими сигналами, а затем от них взята комплексная амплитуда.
Ограничения
Несмотря на то, что в выражение для комплексной амплитуды не входит частота ω гармонического сигнала, следует помнить, что комплексная амплитуда описывает гармонический сигнал конкретной частоты. Поэтому в пространстве комплексных амплитуд недопустимы операции, которые:
- принимают в качестве операндов комплексные амплитуды, описывающие гармонические сигналы разных частот.
- меняют частоту гармонического сигнала или порождают новые частоты (все нелинейные операции, например, перемножение двух сигналов).
Применение
Комплексная амплитуда является полным и очень удобным способом описания гармонических сигналов, поскольку:
- Характеризует и амплитуду, и фазу
- Не содержит зависимости от времени
- Позволяет использовать векторные диаграммы для анализа цепей на переменном токе
Использование комплексных амплитуд и импедансов позволяет свести задачу прохождения гармонического сигнала через линейную цепь (описывается системой дифференциальных уравнений) к более простой задаче, эквивалентной анализу цепи из резисторов на постоянном токе (описывается системой алгебраических уравнений).
См. также
Для улучшения этой статьи желательно:
|