Равномерная непрерывность

Равноме́рная непреры́вность в математическом и функциональном анализе — это свойство функции быть одинаково непрерывной во всех точках области определения.

Понятие непрерывности в общем смысле означает, что малые изменения аргумента приводят к малым изменениям значения функции. Свойство равномерной непрерывности также требует, чтобы величина, ограничивающая отклонение значения аргумента, зависела только от величины отклонения функции, но не от значения аргумента, т.е. имела постоянный характер на всей области определения функции.

Определения

Равномерная непрерывность числовых функций

Основная статья: Непрерывная функция

Числовая функция вещественного переменного $f\colon M\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ равномерно непрерывна, если

$\forall \varepsilon >0\;\exists \delta =\delta (\varepsilon )>0\;\forall x_{1},x_{2}\in M\quad {\bigl (}|x_{1}-x_{2}|<\delta {\bigr )}\Rightarrow {\bigl (}|f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon {\bigr )}.$

Здесь важно, что выбор $\delta$ зависит только от величины $\varepsilon$.

Равномерная непрерывность отображений метрических пространств

Пусть даны два метрических пространства $(X,\varrho _{X})$ и $(Y,\varrho _{Y}).$

Отображение $f\colon X\to Y$ называется равноме́рно непреры́вным на подмножестве $M\subset X,$ если

$\forall \varepsilon >0\;\exists \delta =\delta (\varepsilon )>0\;\forall x_{1},x_{2}\in M\quad {\bigl (}\varrho _{X}(x_{1},x_{2})<\delta {\bigr )}\Rightarrow {\bigl (}\varrho _{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))<\varepsilon {\bigr )}.$

Свойства

• Функция, равномерно непрерывная на множестве $M$, непрерывна на нём. Обратное, вообще говоря, неверно.
• Теорема о равномерной непрерывности: функция, непрерывная на отрезке (компакте), равномерно непрерывна на нём.
• Любое липшицево отображение равномерно непрерывно.

Пример

• Функция

$f(x)={\frac {1}{x}},\;x\in (0,1)$

непрерывна на всей области определения, но не является равномерно непрерывной, так как существует $\varepsilon >0$ такое, что можно указать отрезок сколь угодно малой длины такой, что на его концах значения функции будут различаться больше, чем на $\varepsilon .$

• Другой пример: функция

$f(x)=x^{2},\;x\in (-\infty ,+\infty )$

непрерывна на всей числовой оси, но не является равномерно непрерывной, так как

$\lim _{x\to \infty }(f\left(x+{\frac {a}{x}}\right)-f(x))=\lim _{x\to \infty }(x^{2}+2a+a^{2}x^{-2}-x^{2})=2a.$

Всегда можно выбрать $\varepsilon >0$ для любого отрезка сколь угодно малой длины $\varepsilon /x$ такое, что разница значений функции $f(x)=x^{2}$ на концах отрезка будет больше $\varepsilon .$ В частности, на отрезке $\left(x,x+{\frac {\varepsilon }{x}}\right)$ разница значений функции стремится к $2\varepsilon .$

См. также

• Модуль непрерывности
• Равностепенная непрерывность
• Абсолютная непрерывность