Рефлексивное отношение

Рефлексивное отношение в математике — бинарное отношение $R$ на множестве $X$, при котором всякий элемент этого множества находится в отношении $R$ с самим собой.

Формально, отношение $R$ рефлексивно, если $\forall x\in X:\ (xRx)$.

Свойство рефлексивности при заданных отношениях матрицей характеризуется тем, что все диагональные элементы матрицы равняются 1; при заданных отношениях графом каждый элемент х имеет петлю — дугу (х, х).

Бинарное отношение $R$ на множестве $X$ является рефлексивным тогда и только тогда, когда его подмножеством является тождественное отношение $\operatorname {id} _{X}$ на множестве $X$ ($\operatorname {id} _{X}=\{(x,x)|x\in X\}$), то есть $\operatorname {id} _{X}\subseteq R$.

Если $aRa$ не имеет смысла, то отношение $R$ называется антирефлексивным (или иррефлексивным).

Если антирефлексивное отношение задано матрицей, то все диагональные элементы являются нулевыми. При задании такого отношения графом каждая вершина не имеет петли — нет дуг вида (х, х).

Формально антирефлексивность отношения $R$ определяется как: $\forall x\in X:\ \neg (xRx)$.

Если условие рефлексивности выполнено не для всех элементов множества $X$, говорят, что отношение $R$ нерефлексивно.

Примеры рефлексивных отношений

Рефлексивные отношения:

• отношения эквивалентности:
  • отношение равенства ($=\;$);
  • отношение сравнимости по модулю;
  • отношение параллельности прямых и плоскостей;
  • отношение подобия геометрических фигур;
• отношения нестрогого порядка:
  • отношение нестрогого неравенства ($\leqslant$);
  • отношение нестрогого подмножества ($\subseteq$);
  • отношение делимости ($\vdots$).

Примеры антирефлексивных отношений

Антирефлексивные отношения:

• отношение неравенства ($\neq \;$);
• отношения строгого порядка:
  • отношение строгого неравенства ($<\;$);
  • отношение строгого подмножества ($\subset$);
• отношение перпендикулярности прямых (или ортогональности ненулевых векторов) в евклидовом пространстве.

См. также

• Корефлексивное отношение
• Самоподобие