Подпространство: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории

[отпатрулированная версия]

← Предыдущая правка Следующая правка →

Содержимое удалено Содержимое добавлено

ВизуальныйВики-текст

Линейный

Версия от 20:22, 2 января 2019

В Викисловаре есть статья «подпространство»

Подпростра́нство — понятие, используемое (непосредственно или в словосочетаниях) в различных разделах математики.

Подпространство — подмножество некоторого пространства (аффинного, векторного, проективного, топологического, метрического и так далее), которое само является пространством соответствующего типа со свойствами, индуцированными объемлющим пространством.

Приставка «под» используется в том же смысле для других математических объектов, например подграф, подгруппа, подкатегория и так далее.

Примеры

Непустое подмножество $L'\subset L$ векторного (линейного) пространства $L$ над полем $F$ является векторным (линейным) подпространством, если выполнены два свойства: для всяких векторов $x,y\in L'$ сумма $x+y\in L'$ и для всякого вектора $x\in L'$ и любого $\alpha \in F$ вектор $\alpha x\in L'$ . В частности, подпространство $L'$ обязательно содержит нулевой вектор пространства $L$ (он также является нулевым вектором пространства $L'$ ).

Векторное подпространство $L'\subset L$ называется собственным подпространством, если $L'\neq L$ и $L'$ содержит хотя бы один ненулевой вектор.

Векторное подпространство $L'\subset L$ называется инвариантным подпространством линейного отображения $A:L\to L$ , если $A(L')\subset L'$ , то есть $A(x)\in L'$ для любого вектора $x\in L'$ . Если $\lambda$ — собственное значение отображения $A$ , то все векторы $e\in L$ , удовлетворяющие соотношению $A(e)=\lambda e$ (включая и нулевой вектор), образуют инвариантное подпространство отображения $A$ . Оно называется собственным подпространством, соответствующим данному собственному значению $\lambda$ .

Подпространство $M'\subset M$ метрического пространства $M$ с метрикой $\rho$ обладает индуцированной метрикой $\rho '$ , которая определена формулой $\rho '(x,y)=\rho (x,y)$ для любых $x,y\in M'$ ^[1].

Подпространство $T'\subset T$ топологического пространства $T$ с топологией $\tau$ обладает индуцированной топологией $\tau '$ , открытыми множествами в которой являются множества $G_{\tau '}=G_{\tau }\cap T'$ , где $G_{\tau }$ — всевозможные открытые множества в топологии $\tau$ ^[1].

Пусть $P=P(L)$ — проективное пространство, состоящее из прямых векторного пространства $L$ , и $L'\subset L$ — векторное подпространство. Тогда проективное пространство $P'=P(L')\subset P$ является проективным подпространством^[2].

Примечания

↑ ¹ ² Зорич В. А. Математический анализ. — Любое издание, том 2, гл. IX.
↑ Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Любое издание, гл. IX, пар. 1.

[автоссылка1-1] ¹ ² Зорич В. А. Математический анализ. — Любое издание, том 2, гл. IX.

[2] Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Любое издание, гл. IX, пар. 1.

[1]

[2]

@@ Строка 13: / Строка 13: @@
 * Векторное подпространство <math>L' \subset L</math> называется ''[[Инвариантное подпространство|инвариантным подпространством]]'' [[Линейное отображение|линейного отображения]] <math>A : L \to L</math>, если <math>A(L') \subset L'</math>, то есть <math>A(x) \in L'</math> для любого вектора <math>x \in L'</math>. Если <math>\lambda</math> — [[Собственный вектор|собственное значение]] отображения <math>A</math>, то все векторы <math>e \in L</math>, удовлетворяющие соотношению <math>A(e) = \lambda e</math> (включая и нулевой вектор), образуют инвариантное подпространство отображения <math>A</math>. Оно называется ''собственным подпространством, соответствующим данному собственному значению'' <math>\lambda</math>.
-* Подпространство <math>M' \subset M</math> метрического пространства <math>M</math> с метрикой <math>\rho</math> обладает ''индуцированной метрикой'' <math>\rho'</math>, которая определена формулой <math>\rho'(x,y)=\rho(x,y)</math> для любых <math>x,y \in M'</math><ref>''[[Зорич, Владимир Антонович|Зорич В. А.]]'' Математический анализ. — Любое издание, том 2, гл. IX.</ref>.
+* Подпространство <math>M' \subset M</math> метрического пространства <math>M</math> с метрикой <math>\rho</math> обладает ''индуцированной метрикой'' <math>\rho'</math>, которая определена формулой <math>\rho'(x,y)=\rho(x,y)</math> для любых <math>x,y \in M'</math><ref name="автоссылка1">''[[Зорич, Владимир Антонович|Зорич В. А.]]'' Математический анализ. — Любое издание, том 2, гл. IX.</ref>.
-* Подпространство <math>T' \subset T</math> топологического пространства <math>T</math> с топологией <math>\tau</math> обладает ''индуцированной топологией'' <math>\tau'</math>, открытыми множествами в которой являются множества <math>G_{\tau'} = G_{\tau} \cap T'</math>, где <math>G_{\tau}</math> — всевозможные открытые множества в топологии <math>\tau</math><ref>''[[Зорич, Владимир Антонович|Зорич В. А.]]'' Математический анализ. — Любое издание, том 2, гл. IX.</ref>.
+* Подпространство <math>T' \subset T</math> топологического пространства <math>T</math> с топологией <math>\tau</math> обладает ''индуцированной топологией'' <math>\tau'</math>, открытыми множествами в которой являются множества <math>G_{\tau'} = G_{\tau} \cap T'</math>, где <math>G_{\tau}</math> — всевозможные открытые множества в топологии <math>\tau</math><ref name="автоссылка1" />.
 * Пусть <math>P = P(L)</math> — [[проективное пространство]], состоящее из прямых векторного пространства <math>L</math>, и <math>L' \subset L</math> — векторное подпространство. Тогда проективное пространство <math>P' = P(L') \subset P</math> является ''проективным подпространством''<ref>''[[Шафаревич, Игорь Ростиславович|Шафаревич И. Р.]], Ремизов А. О.'' Линейная алгебра и геометрия, — Любое издание, гл. IX, пар. 1.</ref>.

Подпространство: различия между версиями

Версия от 20:22, 2 января 2019

Примеры

Примечания

Навигация

Поиск