Случайный процесс

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Компьютерная реализация на поверхности сферы. Винеровский процесс считается наиболее изученным и центральным стохастическим процессом в теории вероятностей.[1][2][3]

Случа́йный проце́сс (вероятностный процесс, случайная функция, стохастический процесс) в теории вероятностей — семейство случайных величин, индексированных некоторым параметром, чаще всего играющим роль времени или координаты[4][5][3].

Определение

[править | править код]

Пусть  — измеримое пространство, множество значений параметра . Функция параметра , значениями которой являются случайные величины на пространстве элементарных событий  в фазовом пространстве , называется случайным процессом в фазовом пространстве .[6]

Терминология

[править | править код]

Используемые в области исследований и прикладного применения случайных процессов классификация и терминология являются нестрогими. В частности, термин «случайный процесс» часто используется как безусловный синоним термина «случайная функция».[7] В зависимости от вида множества часто применяются следующие термины.

  • Если , то параметр может интерпретироваться как время. Тогда случайная функция называется случайным процессом. Если множество дискретно, например , то такой случайный процесс называется случа́йной после́довательностью.
  • Если , где , то параметр может интерпретироваться как точка в пространстве, и тогда случайную функцию называют случа́йным по́лем.

Основные сведения

[править | править код]

Всевозможные совместные распределения вероятностей значений :


называются конечномерными распределениями вероятностей случайного процесса .
Случайные процессы и , принимающие значение в фазовом пространстве называются эквивалентными, если при любом эквивалентны соответствующие значения и .

При каждом фиксированном функция параметра со значениями в фазовом пространстве называется реализацией или траекто́рией случайного процесса . Случайный процесс называется непосредственно заданным, если каждый элементарный исход описывается соответствующей траекторией в функциональном пространстве всех функций на множестве со значениями в фазовом пространстве  ; точнее, если и -алгебра порождается всевозможными цилиндрическими множествами , где и , а значения имеют вид , . Любому случайному процессу можно поставить в соответствие непосредственно заданный случайный процесс с теми же самыми конечномерный распределениями. Для каждого согласованного семейства конечномерных распределений вероятностей ( таких, что , являются плотными мерами в фазовом топологическом пространстве , существует непосредственно заданный случайный процесс с такими же конечномерными распределениями вероятностей.

Ковариационная функция. Пусть действительный или комплексный случайный процесс на множестве , имеющий вторые моменты: . Значения случайного процесса можно рассматривать как элементы гильбертова пространства  — пространства всех случайных величин , , со скалярным произведением

.

Важнейшими характеристиками такого случайного процесса являются его математическое ожидание

и ковариационная функция

.

Вместо ковариационной функции может применятся корреляционная функция , являющуюся ковариационной функцией процесса с нулевым математическим ожиданием.
При равенстве аргументов () корреляционная функция равна дисперсии случайного процесса

.

Функция двух переменных и является ковариационной функцией некоторого случайного процесса , , тогда и только тогда, когда она для всех удовлетворяет следующему условию положительной определённости:


для любых и любых комплексных чисел .

Классификация

[править | править код]
  • Случайный процесс называется процессом дискретным во времени, если система, в которой он протекает, меняет свои состояния только в моменты времени , число которых конечно или счётно. Случайный процесс называется процессом с непрерывным временем, если переход из состояния в состояние может происходить в любой момент времени.
  • Случайный процесс называется процессом с непрерывными состояниями, если значением случайного процесса является непрерывная случайная величина. Случайный процесс называется случайным процессом с дискретными состояниями, если значением случайного процесса является дискретная случайная величина:
  • Случайный процесс называется стационарным, если все многомерные законы распределения зависят только от взаимного расположения моментов времени , но не от самих значений этих величин. Другими словами, случайный процесс называется стационарным, если его вероятностные закономерности неизменны во времени. В противном случае, он называется нестационарным.
  • Случайная функция называется стационарной в широком смысле, если её математическое ожидание и дисперсия постоянны, а АКФ зависит только от разности моментов времени, для которых взяты ординаты случайной функции. Понятие ввёл А. Я. Хинчин.
  • Случайный процесс называется процессом со стационарными приращениями определённого порядка, если вероятностные закономерности такого приращения неизменны во времени. Такие процессы были рассмотрены Ягломом[8].
  • Если ординаты случайной функции подчиняются нормальному закону распределения, то и сама функция называется нормальной.
  • Случайные функции, закон распределения ординат которых в будущий момент времени полностью определяется значением ординаты процесса в настоящий момент времени и не зависит от значений ординат процесса в предыдущие моменты времени, называются марковскими.
  • Случайный процесс называется процессом с независимыми приращениями, если для любого набора , где , а , случайные величины , , , независимы в совокупности.
  • Если при определении моментных функций стационарного случайного процесса операцию усреднения по статистическому ансамблю можно заменить усреднением по времени, то такой стационарный случайный процесс называется эргодическим.
  • Среди случайных процессов выделяют импульсные случайные процессы.
  • Ветвящийся случайный процесс может описывать явления, связанные с размножением, делением или превращениями объектов.
  • , где называется стандартной гауссовской (нормальной) случайной последовательностью.
  • Пусть , и  — случайная величина. Тогда является случайным процессом.
  • Пусть  — н.о.р.с.в., неотрицательные и невырожденные ( п.н.). . Тогда процесс называется процессом восстановления, построенным по .

Примечания

[править | править код]
  1. Joseph L. Doob. Stochastic Processes. — Wiley, 1962. — 676 с.
  2. L. C. G. Rogers, David Williams. Diffusions, Markov Processes, and Martingales: Volume 1, Foundations. — Cambridge University Press, 2000-04-13. — 412 с. — ISBN 978-1-107-71749-7.
  3. 1 2 J. Michael Steele. Stochastic Calculus and Financial Applications. — Springer Science & Business Media, 2012-12-06. — 303 с. — ISBN 978-1-4684-9305-4.
  4. Emanuel Parzen. Stochastic Processes. — Courier Dover Publications, 2015-06-17. — 340 с. — ISBN 978-0-486-79688-8.
  5. Iosif Il?ich Gikhman, Anatoli? Vladimirovich Skorokhod. Introduction to the Theory of Random Processes. — Courier Corporation, 1996-01-01. — 548 с. — ISBN 978-0-486-69387-3.
  6. 1 2 Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей (Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы) — М.: Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1973. — 496 стр.
  7. Случайная функция. www.booksite.ru. Дата обращения: 20 августа 2021. Архивировано 20 августа 2021 года.
  8. Яглом А. М. Корреляционная теория процессов со случайными стационарными параметрическими приращениями // Математический сборник. Т. 37. Вып. 1. С. 141—197. — 1955.

Литература

[править | править код]
  • Свешников А. А. Прикладные методы теории случайных функций. — Гл.ред.физ.-мат.лит., 1968.
  • Баскаков С. И. Радио/технические цепи и сигналы. — Высшая школа, 2000.
  • Натан А. А., Горбачёв О. Г., Гуз С. А. Основы теории случайных процессов : учеб. пособие по курсу «Случайные процессы» — М.: МЗ Пресс — МФТИ, 2003. — 168 с. ISBN 5-94073-055-8.
  • Вентцель Е. С., Овчаров Л. А. Теория случайных процессов и её инженерные приложения. — М.: Наука, 1991. — 384 с. — ISBN 5-02-014125-9.
  • Куликов Е. И. Методы измерения случайных процессов. — М.: Радио и связь, 1986. — 272 с.
  • Ралф Деч. Нелинейные преобразования случайных процессов. — М.: Советское радио, 19656. — 206 с.