Уравнение Янга — Бакстера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Уравнение Янга — Бакстера — уравнение, относящееся к классу точно решаемых задач. Имеет вид локальных преобразований эквивалентности, которые появляются в самых разнообразных случаях, таких как электрические цепи, теория узлов и теория кос, спиновые системы. Получило своё имя от независимых работ Ч. Н. Янга 1968 г. и Р. Д. Бакстера 1971 г. по статистической механике.

Зависимое от параметров уравнение Янга — Бакстера[править | править вики-текст]

Обозначим через ассоциативную алгебру с единицей. Зависимое от параметра уравнение Янга — Бакстера — уравнение для , зависимый от параметра обратимый элемент тензорного произведения алгебр (здесь  — параметр, который обычно изменяется по всем вещественным числам в случае аддитивного параметра, или по всем положительным вещественным числам в случае мультипликативного параметра). В случае аддитивного параметра, уравнение Янга — Бакстера является функциональным уравнением

на функцию , в которую указанным образом подставлены две переменные и . При некоторых может превратиться в одномерный проектор, это приводит к квантовому детерминанту. Для мультипликативного параметра уравнение Янга — Бакстера имеет вид

на функцию , где , , и , для всех величин параметра , и , , и , являются морфизмами алгебры, определёнными как

В некоторых случаях детерминант[неоднозначно] может обнулиться при определённых величинах спектрального параметра , и иногда даже превращается в одномерный проектор. В этом случае может быть определён квантовый детерминант.

Независимое от параметра уравнение Янга — Бакстера[править | править вики-текст]

Обозначим через ассоциативную алгебру с единицей. Независимое от параметра уравнение Янга — Бакстера — уравнение для , обратимого элемента тензорного произведения алгебр . Уравнение Янга — Бакстера имеет вид

где , , и .

Пусть  — модуль над . Пусть линейная карта, удовлетворяющая для всей . Тогда представление группы кос, , может быть построено на для , где на . Это представление может использоваться, чтобы определить квазиинварианты кос, узлов.

Литература[править | править вики-текст]

  • H.-D. Doebner, J.-D. Hennig, eds, Quantum groups, Proceedings of the 8th International Workshop on Mathematical Physics, Arnold Sommerfeld Institute, Clausthal, FRG, 1989, Springer-Verlag Berlin, ISBN 3-540-53503-9.
  • Vyjayanthi Chari and Andrew Pressley, A Guide to Quantum Groups, (1994), Cambridge University Press, Cambridge ISBN 0-521-55884-0.
  • Jacques H.H. Perk and Helen Au-Yang, "Yang–Baxter Equations", (2006), arXiv:math-ph/0606053.
  • Манин Ю. И. Введение в теорию схем и квантовые группы. — М.: МЦНМО, 2012. — 256 с. — ISBN 978-5-94057-635-8.