Функциональное уравнение

Функциональное уравнение — уравнение, выражающее связь между значением функции в одной точке с её значениями в других точках. Многие свойства функций можно определить, исследуя функциональные уравнения, которым эти функции удовлетворяют. Термин «функциональное уравнение» обычно используется для уравнений, несводимых простыми способами к алгебраическим уравнениям. Эта несводимость чаще всего обусловлена тем, что аргументами неизвестной функции в уравнении являются не сами независимые переменные, а некоторые данные функции от них.

Примеры

Функциональному уравнению:

$f(s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)f(1-s)$,

где $\Gamma (z)$ — гамма-функция Эйлера, удовлетворяет дзета-функция Римана $\zeta$.

Гамма-функция является единственным решением этой системы трёх уравнений:

$f(x)={f(x+1) \over x}\,\!$

$f(y)f\left(y+{\frac {1}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{2y-1}}}f(2y)$

$f(z)f(1-z)={\pi \over \sin(\pi z)}\,\!\,\,\,$ (формула дополнения Эйлера)

Функциональное уравнение:

$f\left({az+b \over cz+d}\right)=(cz+d)^{k}f(z)$,

где $a,b,c,d$ являются целыми числами, удовлетворяющими равенству $ad-bc=1$, то есть:

${\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}\,=1$,

определяет $f$ как модулярную форму порядка $k$.

Функциональные уравнения Коши:

• $f(x+y)=f(x)+f(y)$ — удовлетворяют все линейные однородные функции $f(x)=ax$,
• $f(x+y)=f(x)f(y)$ — удовлетворяют все показательные функции $f(x)=\exp \left(\alpha x\right)=a^{x}$,
• $f(xy)=f(x)+f(y)$ — удовлетворяют все логарифмические функции $f(x)=\alpha \log \left(x\right)=\log _{a}\left(x\right)$,
• $f(xy)=f(x)f(y)$ — удовлетворяют все степенные функции $f(x)=\exp \left(\alpha \log \left(x\right)\right)=x^{a}$.

Функциональные уравнения Коши приводятся друг к другу. Так, уравнение $f(x_{1}x_{2})=f(x_{1})f(x_{2})$ приводится к уравнению $g(y_{1}+y_{2})=g(y_{1})+g(y_{2})$ после замены $g(y)=\log \left|f(\exp y)\right|$ (для этого, естественно, нужно, чтобы $f(x)$ не была тождественным нулём). В классе непрерывных функций и в классе монотонных функций приведённые решения — единственные, если не считать вырожденное решение $f(x)\equiv 0.$ Однако в более широких классах функций возможны весьма экзотические решения, см. статью «Базис Гамеля».

Другие:

• $f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)+f(y)]$ — квадратичное уравнение или правило параллелограмма, удовлетворяет $f(x)=kx^{2}$,
• $f\left({\frac {x+y}{2}}\right)={\frac {f(x)+f(y)}{2}}$ — уравнение Йенсена, удовлетворяют все линейные функции $f(x)=ax+b$,
• $f(x+y)f(x-y)=f(x)^{2}$ — уравнение Лобачевского (версия уравнения Йенсена), удовлетворяет $f(x)=ac^{x}$,
• $f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)f(y)]$ — уравнение Даламбера,
• $f(h(x))=f(x)+1$ — уравнение Абеля,
• $f(h(x))=cf(x)$ — уравнение Шрёдера, решением является функция Кёнигса, связанная с функцией $\textstyle h(x)$.

Рекуррентные соотношения

Частным видом функциональных уравнений является рекуррентное соотношение, содержащее неизвестную функцию от целых чисел и оператор сдвига. Пример рекуррентного соотношения:

$a(n)=3a(n-1)+4a(n-2).$

Линейные рекуррентные соотношения

$a(n)=\sum _{i=1,k}c_{i}\cdot a(n-i)\!$

(где $c_{1},c_{2},\dots ,c_{k}$— константы, не зависящие от $n$) имеют теорию, аналогом которой является теория линейных дифференциальных уравнений. Так, для приведённого выше рекуррентного соотношения достаточно найти два линейно независимых решения, все остальные решения будут их линейными комбинациями.

Чтобы найти эти решения, надо подставить в рекуррентное соотношение пробную функцию $a(n)=\lambda ^{n}$ с неопределённым параметром $\lambda$ и попробовать найти те $\lambda$, при которых будет удовлетворяться данное рекуррентное соотношение. Для приведённого примера получим квадратное уравнение $\lambda ^{2}=3\lambda +4$ с двумя различными корнями $\lambda =-1$ и $\lambda =4;$ поэтому общим решением для данного рекуррентного соотношения будет формула $a(n)=d_{1}4^{n}+d_{2}(-1)^{n}$ (константы $d_{1}$ и $d_{2}$ подбираются так, чтобы при $n=1$ и $n=2$ формула давала нужные значения для величин $a(1)$ и $a(2)$). В случае кратных корней многочлена дополнительными пробными решениями служат функции $n\lambda ^{n},$ $n^{2}\lambda ^{n}$ и т.д.

Самым знаменитым рекуррентным соотношением, по-видимому, являются числа Фибоначчи $a(n)=a(n-1)+a(n-2).$

Решение функциональных уравнений

Существуют некоторые общие методы решения функциональных уравнений.

В частности, полезным может оказаться применении понятия об инволюции, то есть, использование свойств функций, для которых $f(f(x))=x$; простейшие инволюции:

$f(x)=-x$, $f(x)={\frac {1}{x}}$, $f(x)={\frac {1}{1-x}}+1$, $f(x)=1-x$.

Например, для решения уравнения:

$f^{2}(x+y)=f^{2}(x)+f^{2}(y)$

для всех $x,y\in \mathbb {R}$ и $f:\mathbb {R} \to R$, положим $x=y=0$: $f^{2}(0)=f^{2}(0)+f^{2}(0)$. Тогда $f^{2}(0)=0$ и $f(0)=0$. Далее, положив $y=-x$:

$f^{2}(x-x)=f^{2}(x)+f^{2}(-x)\,$

$f^{2}(0)=f^{2}(x)+f^{2}(-x)\,$

$0=f^{2}(x)+f^{2}(-x)\,$

Квадрат вещественного числа неотрицателен, и сумма неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда когда оба числа равны 0. Значит $f^{2}(x)=0$ для всех $x$ и $f(x)\equiv 0$ является единственным решением этого уравнения.

Литература

• Головинский И. А. Ранняя история аналитических итераций и функциональных уравнений. // Историко-математические исследования. М.: Наука, вып. XXV, 1980, с. 25-51.
• Kuczma M. On the functional equation φn(x) = g(x). Ann. Polon. Math. 11 (1961) 161—175.
• Kuczma M. An introduction to the theory of functional equations and inequalities. Warszawa — Kraków — Katowice: Polish Scientific Publishers & Silesian University, 1985.
• Лихтарников Л. М. Элементарное введение в функциональные уравнения. СПб.: Лань, 1997.

Ссылки

• Functional Equations: Exact Solutions at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Functional Equations: Index at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• IMO Compendium text on functional equations in problem solving.