Ядро Пуассона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Ядро Пуассона — ядро, используемое для решения двумерного уравнения Лапласа с учетом граничных условий Дирихле в единичном круге. Ядро можно представить как производную функции Грина для уравнения Лапласа. Ядро названо в честь С. Пуассона.

Ядро Пуассона играет важную роль в комплексном анализе, поскольку интеграл от ядра Пуассона — интеграл Пуассона — расширяет функцию, определённую на единичной окружности, до гармонической функции, определённой на единичном круге. По определению гармонические функции являются решениями уравнения Лапласа, и — в двумерном случае — эквивалентны мероморфным функциям. Таким образом, двумерная задача Дирихле, по сути, аналогична задаче о нахождении мероморфного продолжения функции, заданной на границе области. Также можно расширить определения ядра Пуассона на n-мерный случай.

Ядра Пуассона обычно находят применение в теории управления и в электростатике.

Ядро Пуассона в двумерном случае[править | править вики-текст]

На комплексной плоскости ядро Пуассона задаётся формулой

Эту формулу можно рассматривать с двух сторон: как функцию или как семейство функций при

Если область такова, что  — единичный круг в комплексном Лебеговом пространстве и если функция задана в области , то функция

является гармонической функцией в области

Так как граничные условия функции совпадают с граничными условиями функции , то при задаёт свёртку в пространстве [уточнить]

Свёртки с таким приближением показывают пример суммирования ядра для рядов Фурье в пространстве Пусть функция имеет ряд Фурье После преобразований Фурье свёртка умножается на ряд

Литература[править | править вики-текст]