Интеграл Пуассона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Интегра́л Пуассо́на — общее название математических формул, выражаюих решение краевой задачи или начальной задачи для уравнений с частными производными некоторых типов.

Задача Дирихле для уравнения Лапласа[править | править вики-текст]

Интеграл Пуассона для задачи Дирихле для уравнения Лапласа в шаре выглядит следующим образом.

Пусть для гармонической в шаре функции u(r, φ) поставлено условие равенства на границе функции u0: u(R, φ) = u0(φ), при этом функции принадлежат следующим классам гладкости: u(r, \varphi)\in C^2(D)\cap C(\overline{D}),\ u_0(\varphi)\in C^1(\partial D), где ∂D — граница шара D, а \overline{D} — его замыкание. Тогда решение такой задачи Дирихле представимо в виде интеграла Пуассона:

u(r,\varphi)= \frac{R^2 - r^2}{\omega_n R} \int\limits_{\partial D} \frac{u_0(\psi)}{|r - \psi|^n}\,dS(\psi),\ r\in[0; R),

где ωn — площадь единичной сферы, а n — размерность пространства.

Вывод формулы в двумерном случае[править | править вики-текст]

Известно, что функция


u(r, \varphi)=a_0+\sum_{n=1}^\infty \left ( \frac{r}{R} \right ) ^n (a_n\cos n\varphi + \tilde{a}_n\sin n\varphi)

является решением задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге. Преобразуем это выражение с учётом выражений для коэффициентов Фурье:


u(r,\varphi)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}u_0(\psi)d\psi+\frac{1}{\pi}\sum_{n=1}^\infty\left (\frac{r}{R}\right)^n\left (\cos n\varphi\int\limits_0^{2\pi}u_0(\psi)\cos n\psi d\psi+\sin n\varphi\int\limits_0^{2\pi}u_0(\psi)\sin(n\psi)d\psi\right )=
=\frac{1}{\pi}\int\limits_0^{2\pi}u_0(\psi)\left (\sum_{n=1}^\infty\left ( \frac{r}{R}\right ) ^n(\cos n\varphi\cos n\psi+\sin n\varphi\sin n\psi)\right ) d\psi+\frac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}u_0(\psi)d\psi=
=\frac{1}{\pi}\int\limits_0^{2\pi}u_0(\psi)\left ( \frac{1}{2}+\sum_{n=1}^\infty\left ( \frac{r}{R}\right )^n\cos n(\varphi-\psi)\right )d\psi.

Последнюю сумму можно вычислить при 0≤r<R:


\frac{1}{2}+\sum_{n=1}^\infty\left ( \frac{r}{R}\right )^n\cos n(\varphi-\psi)=\frac{1}{2}+\operatorname{Re}\sum_{n=1}^\infty\left (\frac{r}{R}e^{i(\varphi-\psi)}\right )^n=\frac{1}{2}+\operatorname{Re}\frac{\frac{r}{R}e^{i(\varphi-\psi)}}{1-\frac{r}{R}e^{i(\varphi-\psi)}}=
=\frac{1}{2}+\operatorname{Re}\frac{\frac{r}{R}e^{i(\varphi-\psi)}\left (1-\frac{r}{R}e^{-i(\varphi-\psi)}\right )}{1-2\frac{r}{R}\cos(\varphi-\psi)+\left ( \frac{r}{R}\right )^2}=\frac{R^2-r^2}{2\left ( R^2+r^2-2Rr\cos(\varphi-\psi)\right )}.

Таким образом, в преобразованном виде интеграл Пуассона для круга приобретает вид:


u(r, \varphi)=\frac{R^2-r^2}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}\frac{u_0(\psi)d\psi}{R^2+r^2-2Rr\cos(\varphi-\psi)},\ r\in[0,R).

Также формула может быть получена методом конформных отображений. Действительная и мнимая часть голоморфной на области U функции удовлетворяют на ней двумерному уравнению Лаплсаса. Известно, что при конформном отображении области U плоскости z=x+iy на область V плоскости w=\xi+i\eta уравнение Лапласа для функции u(x,y) переходит в уравнение \triangle u(\xi,\eta) = 0. С помощью дробно-линейной функции лекго получить отображение исходного круга радиуса R на единичный круг, при котором произвольная точка z_0=r_0e^{i\varphi_0} переходит в центр. Такая функция имеет вид:


w=\rho e^{i\psi}=f(z)=\lambda\frac{z-z_0}{z-\frac{R^{2}}{\bar z_0}}=\lambda\frac{z-r_0e^{i\varphi_0}}{z-\frac{R^{2}}{r_0}e^{i\varphi_0}},

где \lambda выбирается так, чтобы граничные точки исходного круга перешли в точки | w |=1, при этом | \lambda |=\frac{R}{r_0}, а {arg}(\lambda) произволен. Искомая функция u(r,\varphi) перейдёт в функцию U(\rho,\psi). Граничная функция u_0(\varphi) перейдёт в U_0(\psi)=u_0(\varphi(1,\psi)). Тогда по теореме о среднем:


u(r_0,\varphi_0)=U\vert_{w = 0}=\frac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}U_0(\psi)d\psi.

Из этого выражения можно получить явное выражение для решения задачи Дирихле в круге, если выразить U_0(\psi) через u_0(\varphi). Для граничных точек круга | z | \leqslant R и круга | w | \leqslant 1 формула дробно-линейного преобразования даёт


e^{i\psi}=\frac{R}{r_0}\frac{Re^{i\varphi}-r_0e^{i\varphi_0}}{Re^{i\varphi}-\frac{R^{2}}{r_0}e^{i\varphi_0}},

откуда


d\psi=\frac{R^2-r_0^2}{R^2+r_0^2-2Rr_0\cos(\varphi-\varphi_0)}d\varphi.

Производя замену переменной в интеграле, получим искомое выражение:


u(r_0, \varphi_0)=\frac{1}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}\frac{R^2-r_0^2}{R^2+r_0^2-2Rr_0\cos(\varphi-\varphi_0)}u_0(\varphi)d\varphi,\ r_0\in[0,R).

Это выражение эквивалентно вышеприведённому:


u(r, \varphi)=\frac{R^2-r^2}{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}\frac{u_0(\psi)d\psi}{R^2+r^2-2Rr\cos(\varphi-\psi)},\ r\in[0,R).

Задача Коши для уравнения теплопроводности[править | править вики-текст]

Однородное уравнение[править | править вики-текст]

Рассмотрим задачу Коши для однородного уравнения теплопроводности:

\begin{array}{l}
\displaystyle 
\frac{\partial u}{\partial t} - a^2 \Delta u = 0,
\quad x \in \mathbb{R}^n, \; t>0, \\ 
{}\qquad 
u(x,\;0)=\varphi(x), \quad x \in \mathbb{R}^n, \\
\end{array}

где \varphi(x)начальная функция, непрерывная и ограниченная на всём пространстве, и искомая функция u=u(x,t) является непрерывной и ограниченной при t \geq 0 и всех значениях аргумента x.

Фундаментальным решением или ядром уравнения теплопроводности называется решение задачи Коши для однородного уравнения теплопроводности с начальным условием \varphi(x)=\delta(x), где \,\delta(x)дельта-функция Дирака. Оно имеет вид:

 
\Phi(x,t) = \frac{1}{(2a\sqrt{\pi t})^n} \exp \biggl(-\frac{|x|^2}{4a^2 t} \biggr), \ \ x \in \mathbb{R}^n, \ t>0.
где |x|^2 = x_1^2 + \cdots+ x_n^2 — стандартный скалярный квадрат вектора x \in \mathbb{R}^n.

Интеграл Пуассона задает единственное непрерывное и ограниченное решение данной задачи Коши по следующей формуле[1]:

u(x,t) = \int \limits_{\mathbf{R}^n} \Phi(x-y,t)\, \varphi(y)\, dy = \frac{1}{(2a\sqrt{\pi t})^n} \int \limits_{\mathbf{R}^n} \exp \biggl(-\frac{|x-y|^2}{4a^2 t} \biggr)\, \varphi(y)\, dy.

Неоднородное уравнение[править | править вики-текст]

Рассмотрим задачу Коши для неоднородного уравнения теплопроводности:

\begin{array}{l}
\displaystyle 
\frac{\partial u}{\partial t} - a^2 \Delta u = f(x,t),
\quad x \in \mathbb{R}^n, \; t>0, \\ 
{}\qquad 
u(x,\;0)=\varphi(x), \quad x \in \mathbb{R}^n. \\
\end{array}


В этом случае интеграл Пуассона имеет вид[2]:

u(x,t) = 
\frac{1}{(2a\sqrt{\pi t})^n} \int \limits_{\mathbf{R}^n} 
\exp \biggl(-\frac{|x-y|^2}{4a^2 t} \biggr)\, \varphi(y)\, dy +


+ \int \limits_0^t
\int \limits_{\mathbf{R}^n} \frac{1}{(2a\sqrt{\pi (t-s)})^n}
\exp \biggl(-\frac{|x-y|^2}{4a^2 (t-s)} \biggr)\, f(y,s)\, dy\,ds.

Литература[править | править вики-текст]

  • Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. — гл. IV, § 40. — Любое издание.
  • Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — гл. III. — Любое издание.
  • В.М. Уроев. Уравнения математической физики. — М.: ИФ Яуза, 1998. — ISBN 5-88923-026-3.
  • Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1974. — 320 с.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. — гл. IV, § 40. — Любое издание.
  2. Erich Miersemann. Partielle Differenzialgleichungen, p. 156