Интегральные преобразования

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Одним из наиболее мощных средств решения дифференциальных уравнений, как обыкновенных, так, особенно, в частных производных, является метод интегральных преобразований. Преобразования Фурье, Лапласа, Ганкеля и другие применяются для решения задач теории упругости, теплопроводности, электродинамики и других разделов математической физики. Использование интегральных преобразований позволяет свести дифференциальное, интегральное или интегро-дифференциальное уравнение к алгебраическому, а также, в случае дифференциального уравнения в частных производных, уменьшить размерность.

Интегральные преобразования задаются формулой

,

где функции называются оригиналом и изображением соответственно, и являются элементами некоторого функционального пространства , при этом функция называется ядром интегрального преобразования.

Большинство интегральных преобразований являются обратимыми, то есть по известному изображению можно восстановить оригинал, зачастую также интегральным преобразованием:

Хотя свойства интегральных преобразований достаточно обширны, у них довольно много общего. Например, каждое интегральное преобразование является линейным оператором.

Таблица преобразований (одномерный случай)[править | править вики-текст]

Если интегральное преобразование и его обращение заданы формулами

,
,

то:

Таблица интегральных преобразований (одномерный случай)
Преобразование Обозначение t1 t2 u1 u2
Преобразование Фурье
Синус-преобразование Фурье
Косинус-преобразование Фурье
Преобразование Хартли
Преобразование Меллина
Двустороннее преобразование Лапласа
Преобразование Лапласа
Преобразование Вейерштрасса (англ.)
Преобразование Ханкеля
Интегральное преобразование Абеля
Преобразование Гильберта
Ядро Пуассона
Идентичное преобразование

Список интегральных преобразований[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]