Факторпространство по подпространству в линейной алгебре — факторпространство , определяемое для векторного пространства
(
X
,
F
,
+
,
⋅
)
{\displaystyle (X,\;\mathbb {F} ,\;+,\;\cdot )}
по его подпространству
(
X
0
,
F
,
+
,
⋅
)
{\displaystyle (X_{0},\;\mathbb {F} ,\;+,\;\cdot )}
как пространство над фактормножеством
X
{\displaystyle X}
по отношению эквивалентности
x
∼
y
⇔
x
−
y
∈
X
0
{\displaystyle x\sim y\Leftrightarrow x-y\in X_{0}}
.
Обозначение —
X
/
X
0
{\displaystyle X/X_{0}}
.
Отображение
φ
:
X
↦
X
/
X
0
{\displaystyle \varphi \colon X\mapsto X/X_{0}}
, сопоставляющее каждому элементу из
X
{\displaystyle X}
класс эквивалентности , в котором он лежит, называется факторотображением.
Факторотображение даёт возможность определить на
X
/
X
0
{\displaystyle X/X_{0}}
векторную структуру, задав операции
⟨
+
,
⋅
⟩
{\displaystyle \langle +,\;\cdot \rangle }
следующим образом:
x
1
+
x
2
=
φ
(
φ
−
1
(
x
1
)
+
φ
−
1
(
x
2
)
)
∀
x
1
,
x
2
∈
X
/
X
0
;
{\displaystyle x_{1}+x_{2}=\varphi (\varphi ^{-1}(x_{1})+\varphi ^{-1}(x_{2}))\qquad \forall x_{1},\;x_{2}\in X/X_{0};}
λ
x
=
φ
(
λ
φ
−
1
(
x
)
)
∀
x
∈
X
/
X
0
,
λ
∈
F
.
{\displaystyle \lambda x=\varphi (\lambda \varphi ^{-1}(x))\qquad \forall x\in X/X_{0},\;\lambda \in \mathbb {F} .}
Факторотображение на таком пространстве линейно.
Свойства факторотображения:
φ
∈
L
(
X
,
X
/
X
0
)
;
{\displaystyle \varphi \in {\mathcal {L}}(X,\;X/X_{0});}
i
m
φ
=
X
/
X
0
{\displaystyle \mathrm {im} \,{\varphi }=X/X_{0}}
, то есть
φ
{\displaystyle \varphi }
— эпиморфизм ;
ker
φ
=
X
0
{\displaystyle \ker \varphi =X_{0}}
, что эквивалентно
φ
−
1
(
0
)
=
X
0
{\displaystyle \varphi ^{-1}(0)=X_{0}}
.
Понятие факторпространства по подпространству позволяет определить:
кообраз линейного отображения
T
∈
L
(
X
,
Y
)
:
c
o
i
m
T
=
X
/
ker
T
{\displaystyle T\in {\mathcal {L}}(X,\;Y)\colon \mathrm {coim} \,T=X/\ker T}
;
коядро линейного отображения
T
∈
L
(
X
,
Y
)
:
c
o
k
e
r
T
=
Y
/
i
m
T
{\displaystyle T\in {\mathcal {L}}(X,\;Y)\colon \mathrm {coker} \,T=Y/\mathrm {im} \,T}
, при условии что
i
m
T
∈
L
a
t
(
Y
)
{\displaystyle \mathrm {im} \,T\in \mathrm {Lat} (Y)}
.
коразмерность
X
0
∈
L
a
t
(
X
)
:
c
o
d
i
m
X
0
=
dim
X
/
X
0
{\displaystyle X_{0}\in \mathrm {Lat} (X)\colon \mathrm {codim} \,X_{0}=\dim X/X_{0}}
;
Фактор-полунорма в факторпространстве, порождённая полунормой
p
:
∀
w
∈
X
/
X
0
p
X
/
X
0
(
w
)
=
inf
p
(
φ
−
1
(
w
)
)
{\displaystyle p\colon \forall w\in X/X_{0}\quad p_{X/X_{0}}(w)=\inf p(\varphi ^{-1}(w))}
.
Существование снижения на кообраз:
∀
T
∈
L
(
X
,
Y
)
∃
!
T
c
∈
L
(
c
o
i
m
T
,
Y
)
:
T
=
T
c
φ
,
ker
T
c
=
{
0
}
.
{\displaystyle \forall T\in {\mathcal {L}}(X,\;Y)\,\exists {!}\,T_{c}\in {\mathcal {L}}(\mathrm {coim} \,T,\;Y)\colon T=T_{c}\varphi ,\;\ker T_{c}=\{0\}.}
c
o
i
m
T
≃
i
m
T
{\displaystyle \mathrm {coim} \,T\simeq \mathrm {im} \,T}
X
0
,
X
1
∈
L
a
t
(
X
)
:
X
=
X
0
⊕
X
1
⇒
X
/
X
0
≃
X
1
;
X
/
X
1
≃
X
0
{\displaystyle X_{0},\,X_{1}\in \mathrm {Lat} (X):X=X_{0}\oplus X_{1}\Rightarrow X/X_{0}\simeq X_{1};\,X/X_{1}\simeq X_{0}}
φ
∈
B
(
X
,
X
/
X
0
)
.
{\displaystyle \varphi \in {\mathcal {B}}(X,\;X/X_{0}).}
φ
−
1
(
ker
p
X
/
X
0
)
=
c
l
X
0
.
{\displaystyle \varphi ^{-1}(\ker p_{X/X_{0}})=\mathrm {cl} \,X_{0}.}
(
X
/
X
0
,
p
X
/
X
0
)
{\displaystyle (X/X_{0},\;p_{X/X_{0}})}
— хаусдорфово
⇔
X
0
=
c
l
X
0
{\displaystyle \Leftrightarrow X_{0}=\mathrm {cl} \,X_{0}}
.
Хаусдорфовость полунормированного пространства, как известно, позволяет[уточнить ] определить на нём норму , а по норме и метрику.
Признак полноты
X
:
X
0
,
X
/
X
0
{\displaystyle X\colon X_{0},\;X/X_{0}}
— полны
⇒
X
{\displaystyle \Rightarrow X}
— полно.
X
0
{\displaystyle X_{0}}
— гиперплоскость
⇔
c
o
d
i
m
X
0
=
1
{\displaystyle \Leftrightarrow \mathrm {codim} \,X_{0}=1}
.
Неравенства для подчинённой фактор-полунормы:
∀
w
∈
X
/
X
0
,
∀
x
∈
φ
−
1
(
w
)
p
X
/
X
0
(
w
)
⩽
p
(
x
)
;
{\displaystyle \forall w\in X/X_{0},\;\forall x\in \varphi ^{-1}(w)\;p_{X/X_{0}}(w)\leqslant p(x);}
∀
w
∈
X
/
X
0
,
∀
ε
>
0
∃
x
∈
φ
−
1
(
w
)
:
p
(
x
)
⩽
(
1
+
ε
)
p
X
/
X
0
(
w
)
.
{\displaystyle \forall w\in X/X_{0},\;\forall \varepsilon >0\;\exists x\in \varphi ^{-1}(w)\colon p(x)\leqslant (1+\varepsilon )p_{X/X_{0}}(w).}
Кутателадзе С. С. Основы функционального анализа. — 3-е изд. — Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 200. — 336 с. — ISBN 5-86134-074-9 . .