Тождество Якоби

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Это текущая версия страницы, сохранённая 188.134.93.215 (обсуждение) в 06:40, 22 октября 2021. Вы просматриваете постоянную ссылку на эту версию.
(разн.) ← Предыдущая версия | Текущая версия (разн.) | Следующая версия → (разн.)
Перейти к навигации Перейти к поиску

Тождество Якоби — математическое тождество на билинейную операцию на линейном пространстве . Имеет следующий вид:

Названо в честь Карла Густава Якоби.

Понятие тождества Якоби обычно связано с алгебрами Ли.

Следующие операции удовлетворяют тождеству Якоби:

Значение в алгебрах Ли

[править | править код]

Если умножение антикоммутативно, то тождеству Якоби можно придать несколько другой вид, используя присоединённое представление алгебры Ли:

Записав тождество Якоби в форме

получим, что оно равносильно условию выполнения правила Лейбница для оператора :

Таким образом,  — это дифференцирование в алгебре Ли. Любое такое дифференцирование называется внутренним.

Тождеству Якоби также можно придать вид

Это означает, что оператор задаёт гомоморфизм данной алгебры Ли в алгебру Ли её дифференцирований.

Градуированное тождество Якоби

[править | править код]

Пусть  — градуированная алгебра,  — умножение в ней. Говорят, что умножение в удовлетворяет градуированному тождеству Якоби, если для любых элементов