Дискретная случайная величина

Дискретная случайная величина — это случайная величина, множество значений которой конечно или счётно. Значения дискретной случайной величины не содержат какой-либо непрерывный интервал на числовой прямой.

Примеры:

• Любая случайная величина, принимающая целочисленные значения.
• Моменты испускания альфа-частиц атомом радиоактивного элемента.

Способы определения

Пусть ξ — дискретная случайная величина, тогда есть несколько способов её определения:

• Аналитический способ: $P(\xi =x_{k})=p_{k},k\in K$;
• Табличный способ: $\xi ={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&...&x_{n}\\p_{1}&p_{2}&...&p_{n}\end{pmatrix}}$;
• С помощью производящей функции вероятностей

$\phi _{\xi }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }P_{\xi }(k)z^{k}$,

где $\xi$ целочисленная случайная величина, принимающая в зависимости от случайного исхода одно из значений $k=0,1,2,...$ с соответствующими вероятностями $P_{\xi }(k)$.

Пример задачи, приводящей к данному понятию

Рассмотрим стохастический эксперимент, состоящий в бросании игрального кубика с несмещенным центром масс, на каждой грани которого написано по одному из чисел: 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Результатом такого эксперимента будет какое-то число от одного до шести. В силу симметрии кубика у нас нет оснований считать, что какое-либо одно из чисел 1, 2, … , 6 будет выпадать чаще, чем другое, а потому вероятность выпадения каждого из чисел будет 1/6. Запишем соответствующую дискретную случайную величину ξ, характеризующую этот процесс:

• Аналитический способ: $P(\xi =k)={\frac {1}{6}},k\in \{1,2,3,4,5,6\}$;
• Табличный способ: $\xi ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6\\{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{6}}&{\frac {1}{6}}\end{pmatrix}}$.

Примеры распределений дискретных случайных величин

• Биномиальное распределение
• Вырожденное распределение
• Геометрическое распределение
• Гипергеометрическое распределение
• Дискретное равномерное распределение
• Отрицательное биномиальное распределение
• Распределение Бернулли
• Распределение Пуассона

См. также

• Распределение вероятностей
• Абсолютно непрерывная случайная величина

Литература

• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. 8-е изд. — Μ.: Едиториал УРСС, 2005. — 448 с. — ISBN 5-354-01091-8.