Интеграл Коши — Лагранжа

Интеграл Коши — Лагранжа — интеграл уравнений движения идеальной жидкости (уравнений Эйлера) в случае потенциальных течений. В отличие от интеграла Бернулли интеграл Коши — Лагранжа может применяться к нестационарным течениям, что позволяет применять его к анализу волн на поверхности жидкости.

Варианты названия

В русскоязычной литературе наряду с названием интеграл Коши — Лагранжа и интеграл Лагранжа — Коши используются термины интеграл Коши, интеграл Лагранжа. В англоязычной литературе интеграл либо не имеет специального названия, либо считается специальной формой интеграла Бернулли для неустановившихся течений (англ. unsteady form of Bernoulli's equation, Bernoulli's theorem for unsteady potential flow)

Историческая справка

В общем виде интеграл Коши — Лагранжа был установлен в 1755 году Леонардом Эйлером. Позже интеграл использовался Лагранжем в работе по теории течений идеальной жидкости и Коши в работе по теории гравитационных волн на поверхности жидкости.

Формулировка

Течение несжимаемой жидкости в поле силы тяжести

Интеграл Коши — Лагранжа может быть введён только для потенциальных течений идеальной жидкости, для которых вектор скорости, $\mathbf {V}$, выражается через потенциал скорости, $\mathbf {V} =\nabla \,\varphi (x,y,z,t)$, или, что то же самое, для безвихревых (англ. irrotational) течений, в которых завихренность тождественно равна нулю: $\nabla \times \mathbf {V} \equiv 0$. В частном случае потенциального течения идеальной несжимаемой жидкости в однородном поле силы тяжести интеграл Коши — Лагранжа имеет вид

${\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\frac {(\nabla \,\varphi )^{2}}{2}}+{\frac {p}{\rho }}+gz=f(t),$

где — $p(x,y,z,t)$ — давление в жидкости, $\rho$ — её плотность (предполагается постоянной в модели несжимаемой жидкости), $g$ — ускорение свободного падения, $x$, $y$, $z$ — декартовы координаты (ось $z$ направлена вертикально вверх, против силы тяжести). Здесь $f(t)$ — некоторая функция времени, которую можно принять тождественно равной нулю, если сделать замену потенциала скорости ${\tilde {\varphi }}(x,y,z,t)=\varphi (x,y,z,t)-\int f(t)\,dt$ (при такой замене поле скоростей, определяемое пространственными производными от потенциала, не меняется).

Общий случай

В общем случае потенциального течения идеальной жидкости интеграл Коши — Лагранжа справедлив, если имеется однозначная связь между плотностью и давлением, $\rho =\rho (p)$ (такие течения называются баротропными). В этом случае векторное поле массовой силы (действующей на жидкость объемной силы, отнесённой к единице массы) обязательно будет потенциальным: $\mathbf {F} =-\nabla \,\Pi ,$ где $\Pi (x,y,z,t)$ — потенциал массовой силы (не путать с потенциалом скорости $\varphi$), и интеграл Коши — Лагранжа записывается в форме

${\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\frac {(\nabla \,\varphi )^{2}}{2}}+\int {\frac {dp}{\rho (p)}}+\Pi =f(t).$

См. также

• Интеграл Бернулли
• Bernoulli equation for unsteady potential flow

Литература

• Кочин Н. Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. — М.: Физматгиз, 1963. — Т. 1. — С. 114. — 584 с.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Гидродинамика. — Издание 4-е, стереотипное. — М.: Наука, 1988. — 736 с. — («Теоретическая физика», том VI).
• Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. — М.: Дрофа, 2003. — С. 163—166. — 842 с. — ISBN 5-7107-6327-6.
• Седов Л. И. Глава 11. Потенциальные течения несжимаемой жидкости. Интеграл Коши — Лагранжа // Механика сплошной среды. — М.: Наука, 1970. — Т. 2. — С. 149—157. — 568 с.
• Kundu P. K., Cohen I. M. Fluid Mechanics (англ.). — Academic Press, 2002. — 730 p.