Предаддитивная категория

Предаддити́вная категория — обогащённая категория над категорией абелевых групп, то есть такая категория, что для любых её объектов $A$, $B$ множество ${\text{Hom}}(A,B)$ имеет структуру абелевой группы по сложению, при этом композиция морфизмов билинейна:

$(g_{1}+g_{2})\circ f=g_{1}\circ f+g_{2}\circ f$

$g\circ (f_{1}+f_{2})=g\circ f_{1}+g\circ f_{2}$

Предаддитивную категорию иногда называют также $Ab$-категорией.

Примеры

• Категория абелевых групп $\mathbf {Ab}$.
• Категории левых R-модулей $R{\mbox{-}}\mathbf {Mod}$ и правых R-модулей $\mathbf {Mod} {\mbox{-}}R$.

Аддитивные функторы

Функтор $T\colon A\to B$ называется аддитивным, если каждое отображение $T\colon {\text{Hom}}_{A}(a_{1},a_{2})\to {\text{Hom}}_{B}(Ta_{1},Ta_{2})$ является гомоморфизмом абелевых групп.

Если ${\mathcal {C}}$ и ${\mathcal {D}}$ — категории, причём ${\mathcal {D}}$ предаддитивна, то категория функторов $Funct({\mathcal {C}},{\mathcal {D}})$ также предаддитивна, поскольку естественные преобразования можно естественным образом складывать. Если ${\mathcal {C}}$ тоже предаддитивна, то категория $Add({\mathcal {C}},{\mathcal {D}})$ аддитивных функторов и естественных преобразований также предаддитивна.

Последний пример ведёт к обобщению понятия модуля: если ${\mathcal {C}}$ предаддитивна, то категория $Mod({\mathcal {C}}):=Add({\mathcal {C}},\mathbf {Ab} )$ называется категорией модулей над ${\mathcal {C}}$. Если ${\mathcal {C}}$ — предаддитивная категория из одного объекта — кольца $R$, это приводит к обычному определению (левых) $R$-модулей.

$Ab{\mbox{-}}\mathbf {Cat}$ — категория всех малых $Ab$-категорий, морфизмами в которой являются аддитивные функторы.

Специальные случаи

• Кольцо — предаддитивная категория из одного объекта.
• Аддитивная категория — предаддитивная категория с конечными произведениями.
• Абелева категория — аддитивная категория, в которой существуют ядра и коядра, причём каждый мономорфизм и каждый эпиморфизм нормален.

Литература

• Nicolae Popescu; 1973; Abelian Categories with Applications to Rings and Modules; Academic Press, Inc. — ISBN 0-12-561550-7.