Экстремально несвязное пространство

В топологии и связанных разделах математики топологическое пространство называется экстремально разрывным пространством, если замыкание любого открытого множества открыто.

Экстремально несвязное пространство, которое также является компактным и хаусдорфовым иногда называется Stonean пространством (не путать со стоуновским пространством, которое является вполне несвязным компактным хаусдорфовым пространством). Теорема Эндрю Глизона говорит, что проективные объекты категории компактных хаусдорфовых пространств — это в точности экстремально разрывные компактные хаусдорфовы пространства. Вследствие дуальности между стоуновскими пространством и булевыми алгебрами существует также дуальность между Stonean пространствами и категорией полных булевых алгебр.

Для метрических пространств свойство быть экстремально несвязным (замыкание каждого множества открыто) эквивалентно свойству быть дискретным (каждое множество открыто).

Примеры

• Всякое дискретное пространство является экстремально разрывным.
• Компактификация Стоуна — Чеха дискретного пространства экстремально разрывна.
• Спектр абелевой алгебры фон Неймана экстремально разрывен.

См. также

• Связное пространство
• Вполне несвязное пространство