*{{статья |автор= Николаев Н.|заглавие= О площади треугольника|ссылка= http://vofem.ru/ru/articles/10803/|язык= ru|издание= [[В.О.Ф.Э.М.]]|год= 1890|номер= 108|страницы= 227—228}}
*{{статья |автор= Николаев Н.|заглавие= О площади треугольника|ссылка= http://vofem.ru/ru/articles/10803/|язык= ru|издание= [[В.О.Ф.Э.М.]]|год= 1890|номер= 108|страницы= 227—228}}
По теореме Пифагора имеем следующие равенства для гипотенуз: a2 = h2 + (c − d)2 и b2 = h2 + d2 — см. рисунок справа. Вычитая из первого равенства второе, получаем a2 − b2 = c2 − 2cd. Это уравнение позволяет нам выразить d через стороны треугольника:
Для высоты h у нас было равенство h2 = b2 − d2, в которое можно подставить полученное выражение для d и применить формулы для квадратов:
Замечая, что , , , , получаем:
Используя основное равенство для площади треугольника и подставляя в него полученное выражение для h, в итоге имеем:
Эта формула содержится в «Метрике» Герона Александрийского (I век н. э.) и названа в его честь (хотя она была известна ещё Архимеду). Герон интересовался треугольниками с целочисленными сторонами, площади которых тоже являются целыми. Такие треугольники носят название героновых треугольников. Простейшим героновым треугольником является египетский треугольник.
Вариации
Выразив полупериметр через полусумму всех сторон данного треугольника, можно получить три эквивалентные формулы Герона:
Формулу Герона можно записать с помощью определителя в виде[1]:
Имеются три формулы, по структуре аналогичные формуле Герона, но выражаемые в терминах других различных параметров треугольника.
Первая формула выражает площадь через медианы, опущенные на стороны a, b и c, обозначенные соответственно через ma, mb и mc, если их полусумма есть σ = (ma + mb + mc)/2. Тогда мы имеем [2]
Обозначим высоты, проведенные к сторонам a, b и c треугольника соответственно через ha, hb и hc, а полусумму их обратных величин обозначим через . Тогда имеем [3]
или в развернутом виде
Наконец, обозначим полусумму синусов углов треугольника через s = [(sin α) + (sin β) + (sin γ)]/2, тогда имеем [4]
Здесь через D обозначен диаметр описанной окружности треугольника:
где — полупериметр четырёхугольника. (Треугольник является предельным случаем вписанного четырёхугольника при устремлении длины одной из сторон к нулю. Например, при d=0)
Предыдущая формула может быть выписана для тетраэдра в явном виде: Если U, V, W, u, v, w являются длинами ребер тетраэдра (первые три из них образуют треугольник; и , например, ребро u противоположно ребру U и т.д.), тогда справедливы формулы [6]
↑ Weisstein, Eric W. Heron's Formula. From MathWorld--A Wolfram Web Resource.
↑Benyi, Arpad, "A Heron-type formula for the triangle," Mathematical Gazette" 87, July 2003, 324–326.
↑Mitchell, Douglas W., "A Heron-type formula for the reciprocal area of a triangle," Mathematical Gazette 89, November 2005, 494.
↑Mitchell, Douglas W., "A Heron-type area formula in terms of sines," Mathematical Gazette 93, March 2009, 108–109.
↑Стариков В.Н. Заметки по геометрии// Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические науки: сборник научных трудов. Выпуск 1/ Гл ред. Романова И .В Чебоксары: ЦДИП «INet», 2014. С. 37-39
↑W. Kahan, "What has the Volume of a Tetrahedron to do with Computer Programming Languages?", [1], pp. 16-17.
Raifaizen, Claude H. A Simpler Proof of Heron's Formula (англ.) // Mathematics Magazine : magazine. — 1971. — Vol. 44. — P. 27—28. — доказательство формулы Герона на основе теоремы Пифагора