Компактификация: различия между версиями
[непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
→Примеры: убрал ошибку -- сфера негомеоморфна проективной плоскости |
|||
Строка 6: | Строка 6: | ||
<math>f:X \to Y</math> [[вложение]] |
<math>f:X \to Y</math> [[вложение]] |
||
такое, что <math>f(X)</math> плотно в <math>Y</math>. |
такое, что <math>f(X)</math> плотно в <math>Y</math>. |
||
== Примеры == |
|||
* [[Проективная плоскость|Вещественная проективная плоскость]] является компактификацией [[Евклидова плоскость|Евклидовой плоскости]], для стандартного вложения. |
|||
== Одноточечная компактификация == |
== Одноточечная компактификация == |
Версия от 18:33, 15 декабря 2020
Компактификация — операция, которая преобразует топологические пространства в компактные.
Определение
Формально компактификация пространства определяется как пара , где компактно, вложение такое, что плотно в .
Одноточечная компактификация
Одноточечная компактификация (или компактификация Александрова) устроена следующим образом. Пусть и открытыми множествами в считаются все открытые множества , а также множества вида , где имеет замкнутое и компактное (в ) дополнение. берётся как естественное вложение в . тогда компактификация, причём хаусдорфово тогда и только тогда, когда хаусдорфово и локально компактно.
Примеры
- с топологией, сконструированной как указано выше, является компактным пространством. Нетрудно доказать, что если два пространства гомеоморфны, то и соответствующие одноточечные компактификации гомеоморфны.
- В частности, так как окружность на плоскости без одной точки гомеоморфна с (пример гомеоморфизма — стереографическая проекция), целая окружность гомеоморфна с .
- Аналогично, гомеоморфно -мерной сфере.
Компактификация Стоуна — Чеха
На компактификациях некоторого фиксированного пространства можно ввести частичный порядок. Положим для двух компактификаций , , если существует непрерывное отображение такое, что . Максимальный (с точностью до гомеоморфизма) элемент в этом порядке называется компактификацией Стоуна — Чеха[1] и обозначается . Для того, чтобы у пространства существовала компактификация Стоуна — Чеха, удовлетворяющая аксиоме отделимости Хаусдорфа, необходимо и достаточно, чтобы удовлетворяло аксиоме отделимости , то есть было вполне регулярным.
Примечания
- ↑ Также «стоунчеховская компактификация» и «чехстоунова компактификация».