Связное пространство: различия между версиями
Перейти к навигации
Перейти к поиску
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Dfuy (обсуждение | вклад) |
Danneks (обсуждение | вклад) ссылки, уточнения |
||
Строка 9: | Строка 9: | ||
== Свойства == |
== Свойства == |
||
* В связном пространстве каждое подмножество (кроме пустого подмножества и всего пространства) имеет непустую границу. |
* В связном пространстве каждое подмножество (кроме пустого подмножества и всего пространства) имеет непустую [[граница (топология)|границу]]. |
||
** Подмножества с пустой границей являются одновременно открытыми и замкнутыми подмножествами, и называются ''открыто-замкнутыми подмножествами''. В связном пространстве все открыто-замкнутые подмножества тривиальны — либо пусты, либо совпадают со всем пространстовм. |
** Подмножества с пустой границей являются одновременно открытыми и замкнутыми подмножествами, и называются ''открыто-замкнутыми подмножествами''. В связном пространстве все открыто-замкнутые подмножества тривиальны — либо пусты, либо совпадают со всем пространстовм. |
||
* Образ связного множества при [[непрерывное отображение|непрерывном отображении]] связен. |
* Образ связного множества при [[непрерывное отображение|непрерывном отображении]] связен. |
||
* Связность пространства — топологическое |
* Связность пространства — топологическое свойство, то есть свойство, [[инвариант (математика)|инвариантное]] относительно [[гомеоморфизм]]ов. |
||
* [[ |
* [[Замыкание (геометрия)|Замыкание]] связного подмножества <math>A</math> связно. |
||
** Более того, всякое «промежуточное» подмножество <math>B</math> (<math>A\subset B \subset \bar{A}</math>) тоже связно. Другими словами, если связное подмножество <math>A</math> плотно в <math>B</math>, то множество <math>B</math> тоже связно. |
** Более того, всякое «промежуточное» подмножество <math>B</math> (<math>A\subset B \subset \bar{A}</math>) тоже связно. Другими словами, если связное подмножество <math>A</math> плотно в <math>B</math>, то множество <math>B</math> тоже связно. |
||
* Пусть <math>\{A_{\alpha}\}</math> — семейство связных множеств, каждое из которых имеет непустое пересечение со связным множеством <math>A</math>. Тогда множество <math>A \cup \bigcup_{\alpha} A_{\alpha}</math> тоже связно. (То есть если к связному множеству подклеивать произвольное семейство связных множеств, объединение всегда будет оставаться связным.) |
* Пусть <math>\{A_{\alpha}\}</math> — семейство связных множеств, каждое из которых имеет непустое пересечение со связным множеством <math>A</math>. Тогда множество <math>A \cup \bigcup_{\alpha} A_{\alpha}</math> тоже связно. (То есть если к связному множеству подклеивать произвольное семейство связных множеств, объединение всегда будет оставаться связным.) |
||
Строка 27: | Строка 27: | ||
* [[Псевдодуга]] — пример вполне линейно несвязного континуума. |
* [[Псевдодуга]] — пример вполне линейно несвязного континуума. |
||
* [[Веер Кнастера — Куратовского]] — пример такого связного подмножества плоскости, что удаление из него одной точки делает его [[Вполне несвязное пространство|вполне несвязным]]. |
* [[Веер Кнастера — Куратовского]] — пример такого связного подмножества плоскости, что удаление из него одной точки делает его [[Вполне несвязное пространство|вполне несвязным]]. |
||
* [[Множество Мандельброта]] — пример связного множества. |
* [[Множество Мандельброта]] — пример связного множества, относительно которого неизвестно, является ли оно линейно связным. |
||
== Вариации и обобщения == |
== Вариации и обобщения == |
Версия от 06:37, 29 августа 2013
Связное пространство — топологическое пространство, которое невозможно разбить на два непустых непересекающихся открытых подмножества. В противном случае пространство называется несвязным.
Связанные определения
- Каждое связное подмножество пространства содержится в некотором максимальном связном подмножестве. Такие максимальные связные подмножества называются компонентами связности (связными компонентами, компонентами) пространства .
- Пространство, в котором каждая компонента связности состоит из одной точки, называется вполне несвязным. Примером могут служить любые пространства с дискретной топологией, пространство рациональных чисел на числовой прямой и канторово множество.
- Если существует база топологии пространства , состоящая из связных открытых множеств, тогда топология пространства и само пространство (в этой топологии) называются локально связными.
- Связное компактное Хаусдорфово пространство называется континуумом.
Свойства
- В связном пространстве каждое подмножество (кроме пустого подмножества и всего пространства) имеет непустую границу.
- Подмножества с пустой границей являются одновременно открытыми и замкнутыми подмножествами, и называются открыто-замкнутыми подмножествами. В связном пространстве все открыто-замкнутые подмножества тривиальны — либо пусты, либо совпадают со всем пространстовм.
- Образ связного множества при непрерывном отображении связен.
- Связность пространства — топологическое свойство, то есть свойство, инвариантное относительно гомеоморфизмов.
- Замыкание связного подмножества связно.
- Более того, всякое «промежуточное» подмножество () тоже связно. Другими словами, если связное подмножество плотно в , то множество тоже связно.
- Пусть — семейство связных множеств, каждое из которых имеет непустое пересечение со связным множеством . Тогда множество тоже связно. (То есть если к связному множеству подклеивать произвольное семейство связных множеств, объединение всегда будет оставаться связным.)
- Произведение связных пространств связно. Если хоть один из множителей несвязен, произведение будет несвязным.
- Каждая компонента пространства является замкнутым множеством. Различные компоненты пространства не имеют общих точек. Компоненты связности подмножества пространства — это максимальные связные подмножества множества .
- Непрерывное отображение из связного пространства во вполне несвязное сводится к отображению в одну точку.
- Локально связные пространства не обязаны быть связными, а связные — не обязаны быть локально связными.
- В локально связном пространстве компоненты связности открыты.
- Любое линейно связное пространство связно.
- Обратное неверно; например замыкание графика функции связно, но линейно не связно (это множество содержит отрезок на оси ординат).
Примеры
- Псевдодуга — пример вполне линейно несвязного континуума.
- Веер Кнастера — Куратовского — пример такого связного подмножества плоскости, что удаление из него одной точки делает его вполне несвязным.
- Множество Мандельброта — пример связного множества, относительно которого неизвестно, является ли оно линейно связным.