Компактификация: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Tosha (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
Tosha (обсуждение | вклад) |
||
Строка 7: | Строка 7: | ||
такое, что <math>f(X)</math> плотно в <math>Y</math>. |
такое, что <math>f(X)</math> плотно в <math>Y</math>. |
||
==Одноточечная компактификация== |
|||
'''Одноточечная компактификация''' (или '''компактификация [[Александров, Павел Сергеевич|Александрова]]''') устроена следующим образом. Пусть <math>Y=X \cup \{\infty\}</math> и открытыми множествами в <math>Y</math> считаются все открытые множества <math>X</math>, а также множества вида <math>O \cup \{\infty\}</math>, где <math>O \subseteq X</math> имеет компактное (в <math>X</math>) дополнение. <math>f</math> берётся как естественное вложение <math>X</math> в <math>Y</math>. <math>(Y,\; f)</math> тогда компактификация, причём <math>Y</math> хаусдорфово тогда и только тогда, когда <math>X</math> [[Хаусдорфово пространство|хаусдорфово]] и [[локально компактное пространство|локально компактно]]. |
'''Одноточечная компактификация''' (или '''компактификация [[Александров, Павел Сергеевич|Александрова]]''') устроена следующим образом. Пусть <math>Y=X \cup \{\infty\}</math> и открытыми множествами в <math>Y</math> считаются все открытые множества <math>X</math>, а также множества вида <math>O \cup \{\infty\}</math>, где <math>O \subseteq X</math> имеет компактное (в <math>X</math>) дополнение. <math>f</math> берётся как естественное вложение <math>X</math> в <math>Y</math>. <math>(Y,\; f)</math> тогда компактификация, причём <math>Y</math> хаусдорфово тогда и только тогда, когда <math>X</math> [[Хаусдорфово пространство|хаусдорфово]] и [[локально компактное пространство|локально компактно]]. |
||
==Компактификация Стоуна — Чеха== |
|||
На компактификациях некоторого фиксированного пространства <math>X</math> можно ввести частичный порядок. |
На компактификациях некоторого фиксированного пространства <math>X</math> можно ввести частичный порядок. |
Версия от 12:05, 2 января 2016
Компактификация — операция, которая преобразует топологические пространства в компактные.
Определение
Формально компактификация пространства определяется как пара , где компактно, вложение такое, что плотно в .
Одноточечная компактификация
Одноточечная компактификация (или компактификация Александрова) устроена следующим образом. Пусть и открытыми множествами в считаются все открытые множества , а также множества вида , где имеет компактное (в ) дополнение. берётся как естественное вложение в . тогда компактификация, причём хаусдорфово тогда и только тогда, когда хаусдорфово и локально компактно.
Компактификация Стоуна — Чеха
На компактификациях некоторого фиксированного пространства можно ввести частичный порядок. Положим для двух компактификаций , , если существует непрерывное отображение такое, что . Максимальный (с точностью до гомеоморфизма) элемент в этом порядке называется компактификацией Стоуна — Чеха[1] и обозначается . Для того, чтобы у пространства существовала компактификация Стоуна — Чеха, удовлетворяющая аксиоме отделимости Хаусдорфа, необходимо и достаточно, чтобы удовлетворяло аксиоме отделимости , т.е. было вполне регулярным.
Примеры одноточечной компактификации
с топологией, сконструированной как указано выше, является компактным пространством. Нетрудно доказать, что если два пространства гомеоморфны, то и соответствующие одноточечные компактификации гомеоморфны. В частности, так как окружность на плоскости без одной точки гомеоморфна с (пример гомеоморфизма — стереографическая проекция), целая окружность гомеоморфна с . Аналогично, гомеоморфно c -мерной гиперсферой.
Примечания
- ↑ Также «стоунчеховская компактификация» и «чехстоунова компактификация».