Гипербола Киперта

Точка на гиперболе Киперта.

Гипербола Киперта треугольника ABC. Гипербола Киперта проходит через вершины (A,B,C), ортоцентр (O) и центроид (G) треугольника.

Гипе́рбола Ки́перта — гипербола, определяемая по данному треугольнику. Если последний представляет собой треугольник общего положения, то эта гипербола является единственным коническим сечением, проходящим через его вершины, ортоцентр и центроид.

Определение через изогональное сопряжение

Гипербола Киперта — кривая, изогонально сопряжённая прямой, проходящей через точку Лемуана и центр описанной окружности данного треугольника.

• Прямая, проходящая через центр описанной окружности и точку Лемуана, называется осью Брокара. На ней лежат точки Аполлония. Иначе гоаоря, гипербола Киперта — кривая, изогонально сопряжённая оси Брокара данного треугольника.

Определение через треугольники в трилинейных координатах

Определение через треугольники в трилинейных координатах:

Если три треугольника XBC, YCA и ZAB построены на сторонах треугольника ABC, являются подобными, равнобедренными с основаниями на сторонах исходного треугольника, и одинаково расположенными (то есть все они построены либо с внешней стороны, либо с внутренней стороны), то прямые AX, BY и CZ пересекаются в одной точке N.

Если общий угол при основании равен $\theta$, то вершины трёх треугольников имеют следующие трилинейные координаты.

• $X(-\sin \theta ,\sin(C+\theta ),\sin(B+\theta ))$
• $Y(\sin(C+\theta ),-\sin \theta ,\sin(A+\theta ))$
• $Z(\sin(B+\theta ),\sin(A+\theta ),-\sin \theta )$

Трилинейные координаты произвольной точки N, лежащей на гиперболе Киперта

$(\csc(A+\theta ),\csc(B+\theta ),\csc(C+\theta ))$

Уравнение гиперболы Киперта в трилинейных координатах

Геометрическое место точек N при изменении угла при основании треугольников $\theta$ между -π/2 и π/2 является гиперболой Киперта с уравнением

${\frac {\sin(B-C)}{x}}+{\frac {\sin(C-A)}{y}}+{\frac {\sin(A-B)}{z}}=0,$

где $x,y,z$ — трилинейные координаты точки N в треугольнике.

Известные точки, лежащие на гиперболе Киперта

Среди точек, лежащих на гиперболе Киперта, имеются такие важные точки треугольника:

Значение $\theta$	Точка $N$
0	G, центроид треугольника ABC (X2)
π /2 (или, — π /2)	O, ортоцентр треугольника ABC(X4)
$\mathrm {arctg} \,[\mathrm {tg} \,(A/2)\mathrm {tg} \,(B/2)\mathrm {tg} \,(C/2)]$	Центр Шпикера (X10)
π /4	Внешняя точка Вектена (Vecten points) (X485)
— π /4	Внутренняя точка Вектена (Vecten points) (X486)
π /6	N1, первая точка Наполеона (X17)
- π /6	N2, вторая точка Наполеона (X18)
π /3	F1, первая точка Ферма (X13)
- π /3	F2, вторая точка Ферма (X14)
- A (если A < π /2) π — A (если A > π /2)	Вершина A
- B (если B < π /2) π — B (если B > π /2)	Вершина B
- C (если C < π /2) π — C (если C > π /2)	Вершина C

Перечень точек, лежащих на гиперболе Киперта

Гипербола Киперта проходит через следующие центры треугольника X(i):

• для for i=2, (Центроид треугольника),
• i=4 (Ортоцентр),
• i=10 (Центр Шпикера; то есть, инцентр треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника ABC),
• i=13 (первая точка Ферма), i=14 (вторая точка Ферма),
• i=17 (первая точка Наполеона), i=18 (вторая точка Наполеона),
• i=76 (третья точка Брокара),
• i=83 (точка, изогонально сопряжённая серединной точке между точками Брокара),
• i=94, 96,
• i=98 (Точка Тарри=Tarry point),
• i=226, 262, 275, 321,
• i=485 (Внешняя точка Вектена), i=486 (Внутренняя точка Вектена),
• i=598, 671, 801, 1029, 1131, 1132,
• i=1139 (внутренняя точка пятиугольника=inner pentagon point), i=1140 (внешняя точка пятиугольника=outer pentagon point),
• i=1327, 1328, 1446, 1676, 1677, 1751, 1916, 2009, 2010, 2051, 2052, 2394, 2592, 2593,
• i=2671 (первая точка золотого арбелоса=first golden arbelos point),
• i=2672 (вторая точка золотого арбелоса=second golden arbelos point),
• i=2986, 2996

Обобщение теоремы Лестера в виде теоремы Б. Гиберта (2000)

Теорема Б. Гиберта (2000) обобщает теорему об окружности Лестера, а именно: любая окружность, диаметр которой является хордой гиперболы Киперта треугольника и перпендикулярен его прямой Эйлера, проходит через точки Ферма.

История

Название данная гипербола получила в честь открывшего её немецкого математика Фридриха Вильгельма Августа Людвига Киперта (Friedrich Wilhelm August Ludwig Kiepert, 1846—1934).

Свойства

• Гипербола Киперта - равносторонняя (то есть ее диагонали перпендикулярны), следовательно, ее центр, обозначенный в энциклопедии центров треугольника как Х(115), лежит на окружности Эйлера.
• Рассмотрим точки на гиперболе Киперта $X$ и $Y$, для которых $\theta _{y}$=$-\theta _{x}$, тогда:

1. $XY$∩$X'Y'$ = X(6)
2. $XY'$∩$X'Y$ = X(2)
3. $XX'$∩$YY'$ = D, точка D лежит на прямой Эйлера,

где: Х(2) - центроид треугольника, Х(6) - точка Лемуана. Штрихом обозначено изогональное сопряжение.

Частный случай этого утверждения: прямая, проходящая через точки Ферма, пересекает прямую, проходящую через точки Аполлония (ось Брокара), в точке Лемуана. Прямая, проходящая через первую (внутреннюю) точку Ферма и вторую (внешнюю) точку Аполлония, пересекает прямую, проходящую через вторую точку Ферма и первую точку Аполлония , в центроиде треугольника. Прямая, проходящая через первые точки Ферма и Аполлония, параллельна прямой, проходящей через вторые точки Ферма и Аполлония (в терминах проективной геометрии - пересекает в бесконечно удаленной точке плоскости. В данном случае - это Х(30) - точка пересечения прямой Эйлера и бесконечно удаленной прямой).

См. также

Треугольник

Литература

• Eddy R. H., Fritsch R. . The Conics of Ludwig Kiepert: A Comprehensive Lesson in the Geometry of the Triangle // Math Magazine, 1994, 67. — P. 188—205.