Окружность девяти точек

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
9 точек

Окружность девяти точек — это окружность, проходящая через середины всех трёх сторон треугольника. Она также называется окружностью Эйлера, окружностью Фейербаха, окружностью шести точек, окружностью Теркема, окружностью двенадцати точек, включая точки Фейербаха , окружностью n-точек, полуописанной окружностью.

Треугольник, описанная вокруг него окружность (черная) и её центр (чёрный), высоты треугольника (часть высоты, расположенная внутри окружности Эйлера, синяя, а вне - её черная) и окружность девяти точек (синяя) и её центр (синий)

Окружность девяти точек получила такое название из-за следующей теоремы:

Основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат все на одной окружности.

Иначе говоря, окружность девяти точек является описанной окружностью для следующих трёх треугольников:

  • ортотреугольник,
  • дополнительный треугольник,
  • треугольник Эйлера (или треугольник Фейербаха, треугольник Эйлера — Фейербаха) — треугольник, вершинами которого служат середины трёх отрезков, соединяющих ортоцентр и вершины.

Свойства[править | править вики-текст]

Окружность девяти точек обладает ещё целым рядом свойств:

Nine-point circle.svg

  • Последнее свойство гомотетичности (подобия) означает, что окружность девяти точек делит пополам любой отрезок, который соединяет ортоцентр с произвольной точкой, лежащей на описанной окружности.
  • Теорема Фейербаха. Окружность девяти точек произвольного треугольника касается вписанной и всех трёх вневписанных окружностей этого треугольника.[2]
  • Теорема Мавло.[3]: треугольник на своей окружности девяти точек отсекает внешним образом три дуги таким образом, что длина наибольшей из них равна сумме длин двух оставшихся дуг. Например, на рисунке выше теорема Мавло дает равенство: дуга IF=дуга HE+дуга GD.
  • В симметричном виде теорема Мавло может быть записана в виде: U  IF+U  HE+ U GD= 2\max(U  IF,U  HE,U  GD ). Это эквивалентно тому, что наибольшая из трех дуг равна сумме двух других.
  • Последнее свойство - аналог свойств для расстояний x, y и z от вершин до точки Фейербаха, а не для дуг. Аналогичное соотношение также встречается в теореме Помпею.
  • Теорема Гамильтона. Три отрезка прямых, соединяющих ортоцентр с вершинами остроугольного треугольника, разбивают его на три треугольника, имеющих ту же самую окружность Эйлера (окружность девяти точек), что и исходный остроугольный треугольник.
Иллюстрация к теореме Фейербаха. Точкой Фейербаха считается наиболее близкая к вершине A отмеченная жирно точка на окружности
Гипербола Киперта
  • Если описанная около треугольника гипербола проходит через точку пересечения высот, то она равносторонняя (то есть её асимптоты перпендикулярны)[4]. Точка пересечения асимптот равносторонней гиперболы лежит на окружности девяти точек[4].

Частные случаи взаимного расположения окружности девяти точек и описанной окружности[править | править вики-текст]

В треугольнике по отношению к описанной окружности окружность девяти точек (или окружность Эйлера) может располагаться следующим образом:

История[править | править вики-текст]

Эйлер в 1765 году доказал, что основания высот и середины сторон лежат на одной окружности (отсюда название «окружность шести точек»). Первое полное доказательство общего результата было, по-видимому, опубликовано Карлом Фейербахом в 1822 году (вместе с теоремой, носящей его имя), но есть указания на то, что оно было известно и ранее[2].

Вариации по теме[править | править вики-текст]

  • Четыре окружности девяти точек треугольников внутри четырехугольника. Известна теорема: В произвольном выпуклом четырехугольнике ABCD окружности девяти точек треугольников ABC,BCD,CDA,DAB, на которые его разбивают две диагонали, пересекаются в одной точке [5].
  • Известна теорема: Если в выпуклом четырехугольнике перпендикулярны диагонали, то на одной окружности (окружность восьми точек четырехугольника) лежат восемь точек: середины сторон и проекции середин сторон на противоположные стороны [6]

Литература[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Dekov, 2007.
  2. 1 2 Тони Крилли. Математика: 50 идей, о которых нужно знать = 50 Mathematical Ideas you really need to know. — Phantom Press. — 209 с. — ISBN 9785864716700.
  3. Д. П., Мавло (2004), "Красивые свойства замечательных тел", Математика в школi (Украина) (no. № 3): 265–269 
  4. 1 2 Акопян А. В., Заславский А. А.. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — М.: МЦНМО, 2011. — 148 с. — ISBN 978-5-94057-732-4.
  5. Математика в задачах. Сборник материалов выездных школ команды Москвы на Всероссийскую математическую олимпиаду/ Под редакцией А. А. Заславского, Д. А. Пермякова, А. Б. Скопенкова, М. Б. Скопенкова и А. В. Шаповалова. c. 118, задача 9.
  6. Математика в задачах. Сборник материалов выездных школ команды Москвы на Всероссийскую математическую олимпиаду/ Под редакцией А. А. Заславского, Д. А. Пермякова, А. Б. Скопенкова, М. Б. Скопенкова и А. В. Шаповалова. c. 118, задача 11.

Ссылки[править | править вики-текст]