Окружность девяти точек

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
9 точек

Окружность девяти точек — это окружность, проходящая через середины всех трёх сторон треугольника. Она также называется окружностью Эйлера, окружностью Фейербаха, окружностью шести точек.

Окружность девяти точек получила такое название из-за следующей теоремы:

Основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат все на одной окружности.

Свойства[править | править вики-текст]

Окружность девяти точек обладает ещё целым рядом свойств:

  • Радиус окружности девяти точек равен половине радиуса описанной окружности. Более того, описанная окружность есть образ окружности девяти точек относительно гомотетии с центром в ортоцентре и коэффициентом 2. 9pcircle03.svg

Nine-point circle.svg

  • (Теорема Мавло): треугольник на своей окружности девяти точек отсекает внешним образом три дуги таким образом, что длина наибольшей из них равна сумме длин двух оставшихся дуг. Например, на рисунке выше теорема Мавло дает равенство: дуга IF=дуга HE+дуга GD.
  • (Теорема Гамильтона). Три отрезка прямых, соединяющих ортоцентр с вершинами остроугольного треугольника, разбивают его на три треугольника, имеющих ту же самую окружность Эйлера (окружность девяти точек), что и исходный остроугольный треугольник.
Иллюстрация к Теореме Фейербаха

История[править | править вики-текст]

Эйлер в 1765 году доказал, что основания высот и середины сторон лежат на одной окружности (отсюда название «окружность шести точек»). Первое полное доказательство общего результата было, по-видимому, опубликовано Карлом Фейербахом в 1822 году (вместе с теоремой, носящей его имя), но есть указания на то, что оно было известно и ранее[1].

Литература[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Crilly Tony. 50 Mathematical Ideas You Really Need to Know. — London: Quercus, 2007. — P. 85. — ISBN 978-1-84724-008-8.

Ссылки[править | править вики-текст]