Линейная форма

Лине́йная форма, лине́йный функционал — линейное отображение, действующее из векторного пространства $L$ над полем $K$ в поле $K$. Условие линейности заключается в выполнении следующих двух свойств:

$\Phi (f+g)=\Phi (f)+\Phi (g),$

$\Phi (\alpha f)=\alpha \,\Phi (f)$

для любых двух векторов $f,g\in L$ и любого $\alpha \in K$. Таким образом, линейная форма (линейный функционал) является частным случаем понятия линейного оператора, действующего из одного векторного пространства в другое векторное пространство: $L_{K}\to M_{K}$, рассматриваемых над одним и тем же полем $K$. Именно, в случае линейной формы (линейного функционала) векторное пространство $M_{K}=K$.

Термин линейная форма обычно используют в алгебре и алгебраической геометрии, чаще всего говоря при этом о конечномерных векторных пространствах. Термин линейный функционал распространён в функциональном анализе, причем чаще всего речь идет о бесконечномерных векторных пространствах, элементами которых являются функции того или иного класса, и термин функционал подчеркивает то, что рассматривается функция (отображение), аргументом которой являются функции. В качестве поля $K$ чаще всего используются поля $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$.

Свойства

• Множество всех линейных форм на векторном пространстве $L$ само является векторным пространством относительно операций сложения и умножения на элементы из поля $K$. Это пространство называется сопряженным к $L$ и обозначается $L^{\ast }$ .
• Ядро линейной формы (линейного функционала) — векторное подпространство. Если пространство $L$ конечномерно, ядро линейной формы, не равной тождественно нулю, является гиперплоскостью в $L$. В частности, при $\dim L=3$ ядро линейной формы $l_{1}x+l_{2}y+l_{3}z=0$, где $|l_{1}|+|l_{2}|+|l_{3}|\neq 0$, — плоскость в трёхмерном пространстве, причем коэффициенты $l_{i}$ суть координаты нормального вектора плоскости.

Примеры

• Простейшим примером линейной формы является линейная однородная функция одного вещественного или комплексного переменного.

• Пусть пространство $L$ состоит из функций $f(x)$, непрерывных на множестве $\Omega$. Тогда для любых $x_{i}\in \Omega$ выражения $\Phi (f)=f(x_{0})$ и $\Phi (f)=\alpha _{1}f(x_{1})+\alpha _{2}f(x_{2})$ задают линейные функционалы на $L$.

• Пусть пространство $L$ состоит из функций $f(x)$, n раз непрерывно дифференцируемых на множестве $\Omega$. Выражение

$\Phi (f)=\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}{\frac {d^{i}f}{dx^{i}}}(x_{i}),\quad x_{i}\in \Omega ,$

задает линейный функционал на $L$.

• Одним из важнейших примеров линейного функционала служит скалярное произведение вектора-аргумента $f\in L$ и некоторого фиксированного вектора $\phi \in L$: $\Phi (f)=\langle f,\phi \rangle$. В функциональном анализе часто рассматриваются векторные пространства, состоящие из интегрируемых функций, а скалярное произведение задается с помощью интеграла (обычно используется интеграл Лебега). В этом случае приведенная выше формула для линейного функционала принимает вид

$\Phi (f)=\int _{\Omega }f(x)\phi (x)d\omega$.

Такие линейные функционалы используются, например, при определении преобразования Фурье.

• Пусть $A\colon L\to L$ — линейный оператор, отображающие в себя векторное пространство $L$, которое состоит из функций, интегрируемых на некотором множестве $\Omega$. Тогда выражение

$\Phi (f)=\int _{\Omega }Af(x)\phi (x)d\omega$.

задает линейный функционал на пространстве $L$. Примеры таких линейных функционалов:

• $\int _{\Omega }f(x)d\omega$,
• $\int _{\Omega }f(x)\phi (x)d\omega$,
• $\int _{\Omega }{\Bigl (}\sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}{\frac {d^{i}f}{dx^{i}}}(x){\Bigr )}\,d\omega$.

Связанные понятия

• При изучении бесконечномерных функциональных пространствах особую роль играют непрерывные линейные функционалы, иначе называемые обобщёнными функциями. Свойство непрерывности линейного функционала зависит от класса функций (пространства), на котором он действует. Так, нетрудно видеть, что некоторые из приведённых выше функционалов не непрерывны при действии на разрывные функции (можно легко привести такие примеры). Однако на сепарабельных пространствах — то есть в наиболее употребительном и конструктивно разработанном случае — все они непрерывны.
• Используя обобщённые функции, в частности дельта-функцию Дирака и её производные, можно многие линейные функционалы, в частности из приведённых в качестве примеров выше, представить в виде интегральных функционалов, например:

$\Phi (f)=f(1)-f(0)=\int _{-\infty }^{+\infty }\delta (x-1)f(x)dx-\int _{-\infty }^{+\infty }\delta (x-0)f(x)dx=\int _{-\infty }^{+\infty }(\delta (x-1)-\delta (x))f(x)dx$.

В обычном абстрактном определении обобщённой функции она и определяется просто как непрерывный линейный функционал (в традиционном понимании и записи функционал порождается подразумеваемым интегрированием с обобщённой функцией).

См. также

• Билинейная форма
• Полуторалинейная форма

Литература

• Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия, — М.: Наука, 1986.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.