Стягиваемое пространство

Стягиваемое пространство — топологическое пространство, гомотопически эквивалентное точке. Это условие равносильно тому, что тождественное отображение на $X$ гомотопно постоянному.

Локально стягиваемое пространство — топологическое пространство, каждая точка которого обладает стягиваемой окрестностью.

Свойства

Пространство $X$ стягиваемо тогда и только тогда, когда существует $x_{0}\in X$ такое, что $\{x_{0}\}$ — деформационный ретракт пространства $X$.

Стягиваемые пространства всегда односвязны; обратное утверждение, в общем случае, не имеет места, стягиваемость — более сильное ограничение, чем односвязность.

Всякое непрерывное отображение стягиваемых пространств является гомотопической эквивалентностью. Два любых непрерывных отображения произвольного пространства в стягиваемое гомотопны; притом если два любых непрерывных отображения в $X$ гомотопны, то $X$ — стягиваемое пространство.

Конус $\mathrm {C} X$ для данного пространства $X$ — стягиваемое пространство, таким образом, любое пространство $X$ может быть вложено в стягиваемое, что, в свою очередь, свидетельствует о том, что не всякое подпространство стягиваемого пространства стягиваемо. Кроме того, $X$ стягиваемо тогда и только тогда, когда существует ретракция $\mathrm {C} X\to X$.

Примеры и контрпримеры

Стягиваемы $n$-мерное вещественное пространство $\mathbb {R} ^{n}$, любое выпуклое подмножество евклидова пространства, в частности — $n$-мерный шар.

Сфера в бесконечномерном гильбертовом пространстве стягиваема, но при этом $n$-мерные евклидовы сферы нестягиваемы. Всякое непрерывное отображение $n$-мерной сферы в стягиваемое пространство можно непрерывно продолжить на $n+1$-мерный шар.

Другие примечательные стягиваемые пространства — многообразие Уайтхеда (трёхмерное многообразие, не гомеоморфное $\mathbb {R} ^{3}$), многообразие Мазура (четырёхмерное гладкое многообразие с краем, не диффеоморфное четырёхмерному шару), дом Бинга, шутовской колпак.

Все многообразия и CW-комплексы локально стягиваемы, но не стягиваемы в общем случае.

Литература

• Э. Спеньер. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971. — С. 39—42. — 680 с.