Теория Морса

Линии уровня на торе.

Тео́рия Мо́рса — математическая теория, разработанная в 1920-е — 1930-е годы Марстоном Морсом, связывающая алгебро-топологические свойства многообразий и поведение гладких функций на нём в критических точках.

Одно из исторически первых применений методов дифференциальной топологии в анализе. Морс называл теорию «вариационным исчислением в целом» (англ. variation calculus in large), при этом начиная 1960-х годов с обобщением результатов на бесконечномерные многообразия теория Морса стала считаться подразделом глобального анализа — анализа на многообразиях. В свою очередь, в работах Рауля Ботта второй половины 1950-х годов методы теории Морса применены к чисто топологическим задачам, и полученные результаты (прежде всего, теорема периодичности) во многом послужили фундаментом для самостоятельного раздела математики — K-теории.

Выделяются три основных последовательно развившихся направления теории Морса: классическая теория критических точек на гладком многообразии, теория Морса для геодезических на римановом многообразии, явившаяся применением построений классической теории, и теория Морса на банаховых многообразиях, естественно продолжающая теорию геодезических и являющаяся непосредственным обобщением классической теории.

Теория критических точек на гладком многообразии

Ключевой результат теории критических точек на гладком многообразии — лемма Морса, описывающая поведение вещественной функции на многообразии $f:M\to \mathbb {R}$ в невырожденной критической точке $b\in M$: согласно лемме, существует карта $(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ для окрестности $U\ni b$, такая что $x_{i}(b)=0$ для всех $i$ и на всей $U$ имеет место:

$f(x)=f(b)-x_{1}^{2}-\cdots -x_{\alpha }^{2}+x_{\alpha +1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}$.

(Здесь $\alpha$ — индекс $f$ в точке $b$.) Обобщение леммы на гильбертовы пространства — лемма Морса — Пале.

Другой важный результат связан с применением перестройки Морса: если множество $f^{-1}([a,b])$ компактно, не пересекается с краем многообразия $M$ и содержит ровно одну критическую точку, имеющую индекс Морса $k$, то $f^{-1}(b)$ диффеоморфно многообразию, полученному из $f^{-1}(a)$ приклеиванием ручки индекса $k$.

Каждой функции Морса $f$ на гладком многообразии $M$ без края (такой, что все множества $f^{-1}(a)$ компактны) отвечает гомотопически эквивалентный многообразию $M$ CW-комплекс, клетки которого находятся во взаимно-однозначном соответствии с критическими точками функции $f$, причём размерность клетки равна индексу Морса соответствующей критической точки. Важные следствия этого результата — неравенства Морса. Также данный результат предоставляет мощный инструмент для изучения топологии многообразий, причём важны не только индексы, но и количество критических точек. Например, если на замкнутом многообразии задана функция Морса $f:M\to R$, имеющая в точности $m$ критических точек (индексы которых неизвестны), то:

• случай $m=1$ невозможен согласно неравенствам Морса;
• в случае $m=2$: теорема Риба о сфере утверждает, что $M$ гомеоморфно (но, вообще говоря, не диффеоморфно) сфере $S^{n}$;
• случай $m=3$ возможен только в некоторых малых размерностях, при этом $M$ гомеоморфно многообразию Илса — Кёйпера.

Вариации и обобщения

• Теория Морса — Ботта — вариант теории Морса с неизолированными критическими точками. Эта теория находит применение при изучении многообразий с симметриями.

Литература

• Милнор, Дж. Теория Морса / Пер. с англ. В. И. Арнольда. — 1965. — 184 с.
• В. А. Шарафутдинов. Лекции. Глава 3: Основы теории Морса