Тест Харке — Бера

Тест Ха́рке—Бе́ра (англ. Jarque-Bera test) — это статистический тест, проверяющий ошибки наблюдений на нормальность посредством сверки их третьего момента (асимметрия) и четвёртого момента (эксцесс) с моментами нормального распределения, у которого $S=0$, $K=3$.

В тесте Харке—Бера проверяется нулевая гипотеза ${\mathcal {H}}_{0}\colon S=0,\ K=3$ против гипотезы ${\mathcal {H}}_{1}\colon S\neq 0,\ K\neq 3$, где $S$ — коэффициент асимметрии (Skewness), $K$ — коэффициент эксцесса (Kurtosis)

Формулировка

Тест выглядит следующим образом:

$JB=n\left({\frac {S^{2}}{6}}+{\frac {(K-3)^{2}}{24}}\right)$, где $S={\frac {\sum e_{i}^{3}}{n{\hat {\sigma }}_{ML}^{3}}}$, $K={\frac {\sum e_{i}^{4}}{n{\hat {\sigma }}_{ML}^{4}}}$, $e_{i}$ — остатки модели, $n$ — количество наблюдений, ${\hat {\sigma }}_{ML}^{2}={\frac {\sum e_{i}^{2}}{n}}$, ML — обозначение метода максимального правдоподобия (Maximal Likelihood). Данная статистика имеет распределение хи-квадрат с двумя степенями свободы ($\chi _{2}^{2}$), поскольку коэффициенты $S$ и $K$ асимптотически нормальны, следовательно, их квадраты при нормировке дадут две случайные величины, распределённые как $\chi _{1}^{2}$. Чем ближе распределение ошибок к нормальному, тем меньше статистика Харке—Бера отличается от нуля. При достаточно большом значении статистики p-value будет мало, и тогда будет основание отвергнуть нулевую гипотезу (статистика попала в «хвост» распределения).

Свойства теста

Тест Харке—Бера является асимптотическим тестом, то есть применим к большим выборкам. Если ошибки распределены нормально, то в соответствии с теоремой Гаусса—Маркова оценки метода наименьших квадратов будут лучшими (иметь наименьшую дисперсию в классе линейных несмещённых оценок), и коэффициенты регрессии будут также распределены асимптотически нормально.

Литература

• Damodar N. Gujarati. Basic Econometrics. — 4. — The McGraw-Hill Companies, 2004. — С. 1002. — ISBN 978-0071123433.