Теория Бранса-Дикке

В теоретической физике теория гравитации Бранса-Дике (иногда называемая теорией Жордана-Бранса-Дике) является одним из теоретических подходов для объяснения гравитации. Эта теория - широко известная альтернатива Общей Теории Относительности Альберта Эйнштейна. Она является примером теории со скалярно-тензорной гравитацией, то есть теории гравитации, в которой взаимодействие описывается двумя полями, скалярным и тензорным, в отличие от единственного тензорного поля в ОТО. Гравитационная постоянная G при этом перестаёт быть константой, вместо этого величина 1/G заменяется скалярным полем $\phi$, которое может изменяться в пространстве и во времени.

Теория гравитации Бранса-Дике была разработана в 1961 Робертом Дике и Карлом Брансом, основываясь, в том числе, на более ранней работе 1959 года Паскуаля Жордана.

На настоящий момент как теория Бранса-Дике, так и ОТО согласуются со всеми доступными наблюдениями, хотя эксперименты золотого века ОТО значительно сократили список возможных значений параметров теории Бранса-Дике. Теория Бранса-Дике представляет собой точку зрения меньшинства физиков.

Сравнение с Общей Теорией Относительности

Как ОТО, так и теория Бранса-Дике представляют собой примеры теорий относительности - класических теорий гравитационного поля, называемых метрическими теориями. В этих теориях пространство-время описывается метрическим тензором, $g_{ab}$, и гравитационное поле представляется, полностью или частично, тензором кривизны Римана $R_{abcd}$, который определяется метрическим тензором.

Все метрические теории удовлетворяют принципу эквивалентности Эйнштейна, который, на современном геометрическом языке, гласит, что в маленькой области пространства, слишком маленькой, что бы в ней проявлялись эффекты, связанные с кривизной пространства, все законы физики, существующие в Специальной Теории Относительности, верны в локальной Лоренцевой системе отсчёта. Отсюда следует, что, во всех метрических теориях, проявляется эффект гравитационного красного смещения.

Как и в ОТО, источником гравитационного поля является тензор энергии-импульса. Однако, способ, которым наличие этого тензора в какой-либо области пространства влияет на гравитационное поле в этой области, оказывается другим. Другим оказывается и влияние кривизны пространства на перемещение материи. В теории Бранса-Дике в дополнение к метрике, которая является тензором второго ранга, существует так же скалярное поле, $\phi$, которое физически проявляется как изменение в пространстве эффективной гравитационной постоянной.

Уравнения поля теории Бранса-Дике содержат параметр, $\omega$, называемый константой связи Бранса-Дике. Это настоящая безразмерная константа, которая выбирается один раз и не изменяется. Разумеется, её следует выбирать так, что бы она соответствовала наблюдениям. Кроме того, существующее фоновое значение эффективной гравитационной постоянной должно быть использовано в качестве граничного условия. В ОТО безразмерные константы отсутствуют, и, следовательно, она легче поддаётся фальсификации, чем теория Бранса-Дике. Теории, доручкающие подгонку параметров, в принципе, считаются менее достойными, и, при выборе из двух альтернативных теорий, следует выбирать ту, которая содержит меньшее количество параметров. Однако, в некоторых теориях, такие параметры являются необходимыми.

Теория Бранса-Дике является менее строгой, чем ОТО и в ещё одном смысле - она допускает большее количество решений. В частности, точное вакуумное решение уравнений Эйнштейна ОТО, дополненное тривиальным скалярным полем $\phi =1$, становится точным вакуумным решением в теории Бранса-Дике, однако, некотрые решения, которые не являются вакуумными решениями ОТО, при соответствующем выборе скалярного поля, становятся вакумными решениями теории Бранса-Дике. Аналогично, важный клас метрик пространства-времени, называемых pp-волной, являются нулевыми пылевыми решениями как в ОТО, так и в теории Бранса-Дике, однако в теории Бранса-Дике существуют дополнительные волновые решения, имеющие геометрии, невозможные ОТО.

Как и ОТО, теория Бранса-Дике предсказывает гравитационное линзирование и прецессию перигелия планет, вращающихся вокруг Солнца. Однако, точные формулы, описывающие эти эффекты в ней зависят от значения константы связи $\omega$. Это означает, что из наблюдений может быть получено значение нижней границы на возможные значения $\omega$. В 2003 году в ходе эксперимента Кассини-Гюйгенс ,skj gjrfpjyj xnj pyfxtybt $\omega$ должно превышать 40000.

Часто можно услышать, что теория Бранса-Дике, в отличие от ОТО, удовлетворяет принципу Маха. Однако, ннекоторые авторы утверждают, что это не так (особенно учитывая отсутствие консенсуса, о том, что, собственно, означает принцип Маха). Часто утверждается, что ОТО может быть получена из теории Бранса дике при $\omega \rightarrow \infty$. Однако, Фараони (см. ссылки), утверждает, что такая точка зрения является упрощением. Утверждается так же, что только ОТО удовлетворяет сильному принципу эквивалентности.

Уравнения поля

Уравнения поля в теории Бранса-Дике имеют следующий вид:

$\Box \phi ={\frac {8\pi }{3+2\omega }}T$

$G_{ab}={\frac {8\pi }{\phi }}T_{ab}+{\frac {\omega }{\phi ^{2}}}(\partial _{a}\phi \partial _{b}\phi -{\frac {1}{2}}g_{ab}\partial _{c}\phi \partial ^{c}\phi )+{\frac {1}{\phi }}(\nabla _{a}\nabla _{b}\phi -g_{ab}\Box \phi )$

где

• $\omega$ -- безразмерная константа связи Дике,
• $g_{ab}$ -- метрический тензор,
• $G_{ab}=R_{ab}-{\frac {1}{2}}Rg_{ab}$ это тензор Эйнштейна,
• $R_{ab}={R^{\,m}}_{amb}$ is the тензор Ричи,след тензора кривизны,
• $R={R^{\,m}}_{m}$ -- скаляр Ричи, след тензора Ричи,
• $T_{ab}$ -- тензор энергии-импульса,
• $T$ -- след $T_{ab}$,
• $\phi$ -- скалярное поле,
• $\Box$ -- оператор Лапласа-Бертрами или ковариантный волновой опертор, $\Box \phi =\phi _{\;\;;a}^{;a}$

Первое уравнение утверждает, что след тензора энергии-импульса является источником скалярного поля $\phi$. Так как электромагнитное поле вносит вклад только в бесследовые члены тензора энергии-импульса, то в областях пространства, содержащих только электромагнитное поле (плюс гравитационное поле), правая часть выражения обращается в ноль и $\phi$ свободно проходит сквозь электровакуумный регион и $\phi$ удовлетворяет волновому уравнению (для искривлённого пространства). Это означает, что любые изменения в $\phi$ свободно распространяется через электровакуумный регион; в этом смысле мы можем утверждать, что $\phi$ является дальнодействующем полем

Второе уравнение описывает, каким образом тензор энергии-импульса и скалярное поле $\phi$ совместно влияют на пространство-время. Слева, тензор Эйнштейна может рассматриваться, как средняя кривизна. Из математики следует, что в любой метрической теории тензор Римана может быть записан как сумма кривизны Вейля (так же называемого конформным тензором кривизны) плюс слагаемое, собираемое из тензора Эйнштейна.

Для сравнения, уравнения поля в Общей Теории Относительности это просто

$G_{ab}=8\pi T_{ab}$

Оно означает, что в ОТО, кривизна Эйнштейна полностью определяется тензором энергии-импульса,другое слагаемое, кривизна Вейля, соответствует части гравитационного поля, распространяющиейся сквозь вакуумный регион. Но в теории Бранса-Дике, тензор Эйнштейна определяется, частично, непосредственно присутствующими энергией и импульсом, и, частично, дальним скалярным полем $\phi$.

Уравнения поля в вакууме обоих теорий получаются при занулении тензора энергии-импульса. Они описывают ситуацию, когда все поля, кроме гравитационного, отсутствуют.

Действие

Лагранжиан содержащий полное описание теории Бранса-Дике выглядит следующим образом:

$S={\frac {1}{16\pi }}\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\;\left(\phi R-\omega {\frac {\partial _{a}\phi \partial ^{a}\phi }{\phi }}+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }\right)$

где

• $g$ -- детерминант метрики,
• ${\sqrt {-g}}\,d^{4}x$ -- четырёхмерная объёмная форма,
• ${\mathcal {L}}_{\mathrm {M} }$ -- слагаемое вещества или Лагранжиан вещества

Слагаемое вещества включает в себя вклад обычной материи и электромагнитного поля. В вакууме он обращается в ноль, то, что остаётся, называется гравитационным слагаемым. Для того, что бы получить вакуумные уравнения, мы должны посчитать его вариации относительно метрики $g_{ab}$; это даст нам второе из уравнений поля. При рассчёте же вариаций относительно скалярного поля $\phi$, мы получим первое из уравнений. Заметим что, в отличие от уравнений ОТО, слагаемое $\delta R_{ab}/\delta g_{cd}$ не обнуляется, так как результат не является полным дифференциалом. Можно показать, что:

${\frac {\delta (\phi R)}{\delta g^{ab}}}=\phi R_{ab}+g_{ab}g^{cd}\phi _{;cd}-\phi _{;ab}$

Для того, что бы доказать это воспользуемся тем, что

$\delta (\phi R)=R\delta \phi +\phi R_{mn}\delta g^{mn}+\phi \nabla _{s}(g^{mn}\delta \Gamma _{nm}^{s}-g^{ms}\delta \Gamma _{rm}^{r})$

При вычислении $\delta \Gamma$ в Римановых нормальных координтах, 6 индивидуальных слагаемых оказываются равными нулю. Ещё 6 могут быть скомбинированы используя теорему Стокса для получения $(g_{ab}g^{cd}\phi _{;cd}-\phi _{;ab})\delta g^{ab}$.

Для сравнения, в Общей теории относительности Лагранжиан имеет вид:

$S=\int d^{4}x{\sqrt {-g}}\;({\frac {R}{16\pi G}}+{\mathcal {L}}_{\mathrm {M} })$

Считая вариации гравитационного члена относительно $g_{ab}$ получаем полевые уравнения Эйнштейна в вакууме.

В обоих теориях, полные полевые уравнения могут быть получены путём вариаций полного Лагранжиана

Смотри также

• Классическая теория гравитации
• Самосоздающаяся космология, модификация теории Бранса-Дике, позволяющая неминимально связанному скаляру взаимодействовать с веществом.
• принцип Маха
• Общая Теория Относительности

Внешние ссылки

• P. G. Bergmann (1968). "Comments on the scalar-tensor theory". Int. J. Theor. Phys. 1: 25. doi:10.1007/BF00668828.
• R. V. Wagoner (1970). "Scalar-tensor theory and gravitational waves". Phys. Rev. D1: 3209.
• Misner, Charles; Thorne, Kip S.; & Wheeler, John Archibald. Gravitation. — San Francisco : W. H. Freeman, 1973. — ISBN 0-7167-0344-0.
  See Box 39.1.
• Will, Clifford M. Was Einstein Right?: Putting General Relativity to the Test. — NY : Basic Books, 1986. — ISBN 0-19-282203-9.
  Chapter 8: "The Rise and Fall of the Brans-Dicke Theory".
• Faroni, Valerio (1999). "Illusions of general relativity in Brans-Dicke gravity". Phys. Rev. D59: 084021.
  See also the eprint version on the ArXiv.
• Faraoni, Valerio. Cosmology in scalar-tensor gravity. — Boston : Kluwer, 2004. — ISBN 1-4020-1988-2.
• Carl H. Brans, The roots of scalar-tensor theory: an approximate history  (неопр.). ArXiv. Дата обращения: June 14 2005.