Расстояние от точки до прямой на плоскости: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Illustr (обсуждение | вклад) |
исправление неработающей ссылки на источник, оформление раздела «Литература» |
||
Строка 6: | Строка 6: | ||
=== Прямая задана уравнением === |
=== Прямая задана уравнением === |
||
Когда прямая на плоскости задана уравнением {{nowrap|1=''ax'' + ''by'' + ''c'' = 0}}, где ''a'', ''b'' и ''c'' — [[Вещественное число|вещественные]] константы (''a'' и ''b'' не равны нулю одновременно), расстояние от прямой до точки (''x''<sub>0</sub>,''y''<sub>0</sub>) равно {{sfn|Larson, Hostetler|2007| |
Когда прямая на плоскости задана уравнением {{nowrap|1=''ax'' + ''by'' + ''c'' = 0}}, где ''a'', ''b'' и ''c'' — [[Вещественное число|вещественные]] константы (''a'' и ''b'' не равны нулю одновременно), расстояние от прямой до точки (''x''<sub>0</sub>,''y''<sub>0</sub>) равно {{sfn|Larson, Hostetler|2007|p=452}} |
||
: <math>\operatorname{distance}(ax+by+c=0, (x_0, y_0)) = \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}. </math> |
: <math>\operatorname{distance}(ax+by+c=0, (x_0, y_0)) = \frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}. </math> |
||
Точка на прямой, наиболее близкая к (''x''<sub>0</sub>,''y''<sub>0</sub>), имеет координаты {{sfn|Larson, Hostetler|2007| |
Точка на прямой, наиболее близкая к (''x''<sub>0</sub>,''y''<sub>0</sub>), имеет координаты {{sfn|Larson, Hostetler|2007|p=522}} |
||
: <math>x = \frac{b(bx_0 - ay_0)-ac}{a^2 + b^2}</math> и <math>y = \frac{a(-bx_0 + ay_0) - bc}{a^2+b^2}.</math> |
: <math>x = \frac{b(bx_0 - ay_0)-ac}{a^2 + b^2}</math> и <math>y = \frac{a(-bx_0 + ay_0) - bc}{a^2+b^2}.</math> |
||
Строка 100: | Строка 100: | ||
: <math>d=\sqrt{ \left( {\frac{x_0 + m y_0-mk}{m^2+1}-x_0 } \right) ^2 + \left( {m\frac{x_0+m y_0-mk}{m^2+1}+k-y_0 }\right) ^2 }.</math> |
: <math>d=\sqrt{ \left( {\frac{x_0 + m y_0-mk}{m^2+1}-x_0 } \right) ^2 + \left( {m\frac{x_0+m y_0-mk}{m^2+1}+k-y_0 }\right) ^2 }.</math> |
||
Если заметить, что ''m'' = -''a''/''b'' и ''k'' = -''c''/''b'' для уравнения ''ax'' + ''by'' + c = 0, после небольших выкладок получим стандартное выражение{{sfn|Larson, Hostetler|2007| |
Если заметить, что ''m'' = -''a''/''b'' и ''k'' = -''c''/''b'' для уравнения ''ax'' + ''by'' + c = 0, после небольших выкладок получим стандартное выражение{{sfn|Larson, Hostetler|2007|p=522}}. |
||
== Формулировка с помощью векторов == |
== Формулировка с помощью векторов == |
||
Строка 119: | Строка 119: | ||
— это вектор, являющийся проекцией <math>\mathbf{a}-\mathbf{p}</math> на прямую. Тогда |
— это вектор, являющийся проекцией <math>\mathbf{a}-\mathbf{p}</math> на прямую. Тогда |
||
: <math>(\mathbf{a}-\mathbf{p}) - ((\mathbf{a}-\mathbf{p}) \cdot \mathbf{n})\mathbf{n}</math> |
: <math>(\mathbf{a}-\mathbf{p}) - ((\mathbf{a}-\mathbf{p}) \cdot \mathbf{n})\mathbf{n}</math> |
||
является компонентой вектора <math>\mathbf{a}-\mathbf{p}</math>, перпендикулярной прямой. Расстояние от точки до прямой, следовательно, равно просто [[Норма (математика)|норме]] этого вектора<ref>{{cite web|last=Sunday|first=Dan|title=Lines and Distance of a Point to a Line|url=http://geomalgorithms.com/a02-_lines.html|publisher=softSurfer|accessdate=6 December 2013}}</ref>. Эта общая формула может быть использована в более высоких размерностях. |
является компонентой вектора <math>\mathbf{a}-\mathbf{p}</math>, перпендикулярной прямой. Расстояние от точки до прямой, следовательно, равно просто [[Норма (математика)|норме]] этого вектора<ref>{{cite web|last=Sunday|first=Dan.|title=Lines and Distance of a Point to a Line|url=http://geomalgorithms.com/a02-_lines.html|publisher=// softSurfer|accessdate=6 December 2013}}</ref>. Эта общая формула может быть использована в более высоких размерностях. |
||
== Другая формулировка с помощью векторов == |
== Другая формулировка с помощью векторов == |
||
Строка 134: | Строка 134: | ||
{{примечания|2}} |
{{примечания|2}} |
||
== |
== Литература == |
||
* {{книга|автор=[[Делоне, Борис Николаевич|Делоне Б. Н.]], [[Райков, Дмитрий Абрамович|Райков Д. А.]] |заглавие=Аналитическая геометрия. T. 1|место=М., Л.|издательство=ОГИЗ|год=1948|страниц=456|ref=Делоне, Райков}} |
|||
* {{книга |
|||
* {{книга|автор=Моденов П. С. |заглавие=Аналитическая геометрия|место=М.|издательство=Изд-во Моск. ун-та|год=1967|страниц=697|ref=Моденов}} |
|||
|автор=Howard Anton |
|||
* {{книга|автор=[[Привалов, Иван Иванович|Привалов И. И.]] |заглавие=Аналитическая геометрия. 13-е изд|место=М.|издательство=[[Наука (издательство)|Наука]]|год=1966|страниц=272|ref=Привалов}} |
|||
|ref=Anton |
|||
* {{книга|автор=Федотов А. Г., Карпов Б. В. |заглавие=Аналитическая геометрия|место=М.|издательство=[[Московский институт электроники и математики|МГИЭМ]]|год=2005|страниц=158|isbn=5-94506-116-6|ref=Федотов, Карпов}} |
|||
|заглавие=Elementary Linear Algebra |
|||
* {{книга|автор=Anton H. |заглавие=Elementary Linear Algebra. 7th ed|место=Somerset|издательство=[[John Wiley & Sons]]|год=1994|isbn=0-471-58742-7|ref=Anton}} |
|||
|издание=7th |
|||
* {{статья|автор=Ballantine J. P., Jerbert A. R. |заглавие=Distance from a Line or Plane to a Point|издание=American Mathematical Monthly|год=1952|volume=59|pages=242—243|doi=10.2307/2306514|ref=Ballantine, Jerbert}} |
|||
|год=1994 |
|||
* {{книга|автор=Larson R., Hostetler R. |заглавие=Precalculus: A Concise Course|место=Boston|издательство=Houghton Mifflin|год=2007|allpages=xvii + 526 + 102|isbn=0-618-62719-7|ref=Larson, Hostetler}} |
|||
|издательство=John Wiley & Sons |
|||
* {{книга|автор=Laudański L. M. |заглавие=Between Certainty and Uncertainty: Statistics and Probability in Five Units with Notes on Historical Origins and Illustrative Numerical Examples|место=Berlin; Heidelberg|издательство=Springer Verlag|год=2014|allpages=x + 318|серия=Intelligent Systems Reference Library, vol. 31|isbn=978-3-642-25696-7|ref=Laudanski}} |
|||
|isbn=0-471-58742-7 |
|||
}} |
|||
* {{книга |
|||
|автор=И. И. Привалов |
|||
|ref=Привалов |
|||
|заглавие=Аналитическая геометрия |
|||
|издание=13 |
|||
|издательство=«Наука» |
|||
|место=М. |
|||
|год=1966 |
|||
}} |
|||
* {{книга |
|||
|автор=Б. Н. Делоне, Д. А. Райков |
|||
|ref=Делоне, Райков |
|||
|заглавие=Аналитическая геометрия |
|||
|издательство=ОГИЗ, Государственнон издательство технико-теоретической литературы |
|||
|место=М., Л. |
|||
|том=1 |
|||
|год=1948 |
|||
}} |
|||
* {{книга |
|||
|автор=А. Г. Федотов, Б. В. Карпов |
|||
|ref=Федотов, Карпов |
|||
|заглавие=Аналитическая геометрия. Учебное пособие |
|||
|место=М. |
|||
|год=2005 |
|||
|ISBN=5-94506-116-6, |
|||
|издательство=Московский государственный институт электроники и математики |
|||
}} |
|||
* {{книга |
|||
|автор=П. С. Моденов |
|||
|ref=Моденов |
|||
|заглавие=Аналитическая геометрия |
|||
|место=М. |
|||
|год=1967 |
|||
|издательство=Издательство Московского государственного университета |
|||
}} |
|||
* {{статья |
|||
|автор=J.P. Ballantine, A.R. Jerbert |
|||
|ref=Ballantine, Jerbert |
|||
|год=1952 |
|||
|том=59 |
|||
|заглавие=Distance from a line or plane to a point |
|||
|издание=American Mathematical Monthly |
|||
|страницы=242–243 |
|||
|doi=10.2307/2306514 |
|||
}} |
|||
* {{citation |
|||
|автор=Ron Larson, Robert Hostetler |
|||
|заглавие=Precalculus: A Concise Course |
|||
|год=2007 |
|||
|издательсвто=Houghton Mifflin Co. |
|||
|isbn=0-618-62719-7 |
|||
}} |
|||
* {{книга |
|||
|заглавие= Between Certainty and Uncertainty: Statistics and Probability in Five Units with Notes on Historical Origins and Illustrative Numerical Examples |
|||
|год=2014 |
|||
|издательство-Springer |
|||
|ISBN=9783642436734 |
|||
|автор=Ludomir M. Laudanski |
|||
|ref=Laudanski |
|||
}} |
|||
== Дополнительная литература == |
== Дополнительная литература == |
||
* {{книга|автор=Deza M. M., Deza E. |заглавие=Encyclopedia of Distances. 2nd ed|ссылка=http://books.google.co.uk/books?id=QxX2CX5OVMsC&pg=PA86|место=Berlin; Heidelberg|издательство=Springer Verlag|год=2013|allpages=xviii + 650|isbn=978-3-642-30957-1}} — P. 86. |
|||
* {{книга |
|||
|заглавие=Encyclopedia of Distances |
|||
|автор=Michel Marie Deza, Elena Deza |
|||
|издание=2nd |
|||
|издательство=Springer |
|||
|год=2013 |
|||
|isbn=9783642309588 |
|||
|page=86 |
|||
|url=http://books.google.co.uk/books?id=QxX2CX5OVMsC&pg=PA86 |
|||
}} |
|||
{{rq|checktranslate|style}} |
{{rq|checktranslate|style}} |
||
{{Нет полных библиографических описаний}} |
|||
[[Категория:Евклидова геометрия]] |
[[Категория:Евклидова геометрия]] |
Версия от 02:53, 8 мая 2017
Расстояние от точки до прямой — это кратчайшее расстояние от точки до прямой в евклидовой геометрии. Расстояние равно длине отрезка, который соединяет точку с прямой и перпендикулярен прямой. Формула вычисления расстояния может быть получена и выражена несколькими способами.
Знание наименьшего расстояния от точки до прямой может быть полезно во многих случаях, например, для поиска кратчайшего пути для выхода на дорогу, определение разброса графа, и подобное. В регрессии Деминга, процедуре линейного сглаживания, если зависимые и независимые переменные имеют одну и ту же дисперсию, регрессия сводится к ортогональной регрессии, в которой степень приближения измеряется для каждой точки как расстояние от точки до регрессионной прямой.
Декартова система координат
Прямая задана уравнением
Когда прямая на плоскости задана уравнением ax + by + c = 0, где a, b и c — вещественные константы (a и b не равны нулю одновременно), расстояние от прямой до точки (x0,y0) равно [1]
Точка на прямой, наиболее близкая к (x0,y0), имеет координаты [2]
- и
Горизонтальные и вертикальные прямые
В общем уравнении прямой ax + by + c = 0 коэффициенты a и b не могут быть одновременно равны нулю пока c не нулевое, а в случае всех нулевых коэффициентов уравнение не задаёт прямую. Если a = 0, а b ≠ 0, прямая горизонтальна и имеет уравнение y = -c/b. Расстояние от (x0, y0) до этой прямой определяется вертикальным отрезком длины |y0 — (-c/b)| = |by0 + c| / |b| (согласно формуле). Аналогичным образом, для вертикальных прямых (b = 0) расстояние между той же точкой и прямой равно |ax0 + c| / |a| и измеряется вдоль горизонтального отрезка.
Нормированное уравнение прямой
Нормированное уравнение прямой — это уравнение вида
Нормированное уравнение получается из общего уравнения прямой ax + by + c = 0 делением всех членов на . Тогда расстояние от точки (x0, y0) до прямой равно абсолютному значению отклонения и вычисляется по формуле [3][4]
Прямая задана двумя точками
Если прямая проходит через две точки P1=(x1,y1) и P2=(x2,y2), то расстояние от (x0,y0) до прямой равно:
Знаменатель этого выражения равен расстоянию между точками P1 и P2. Числитель равен удвоенной площади треугольника с вершинами (x0,y0), P1 и P2 (см. Общая формула площади треугольника в декартовых координатах). Выражение эквивалентно , что может быть получено преобразованием стандартной формулы площади треугольника: , где b — длина стороны, а h — высота на эту сторону из противолежащей вершины.
Доказательства
Алгебраическое доказательство
Это доказательство верно, только когда прямая не является ни вертикальной, ни горизонтальной. То есть мы предполагаем, что ни a, ни b в уравнении не равны нулю.
Прямая с уравнением ax + by + c = 0 имеет наклон -a/b, так что любая прямая, перпендикулярная к заданной, имеет наклон b/a. Пусть (m, n) — точка пересечения прямой ax + by + c = 0 и перпендикулярной прямой, проходящей через точку (x0, y0). Прямая, проходящая через эти две точки, перпендикулярна исходной прямой, так что
Таким образом, и после возведения в квадрат получим:
Рассмотрим,
Здесь использовано возведённое в квадрат выражение. Но мы также имеем
поскольку точка (m, n) расположена на прямой ax + by + c = 0. Таким образом,
И мы получаем длину отрезка между этими двумя точками,
- [5].
Геометрическое доказательство
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/09/Point-to-line2.svg/220px-Point-to-line2.svg.png)
Это доказательство верно, только когда прямая не является ни вертикальной, ни горизонтальной. Баллантин и Джерберт[6] не упомянули это ограничение в своей статье.
Опустим перпендикуляр из точки P с координатами (x0, y0) на прямую с уравнением Ax + By + C = 0. Обозначим основание перпендикуляра буквой R. Проведём вертикальную прямую через P и обозначим пересечение этой вертикальной прямой с исходной прямой буквой S. В произвольной точке T на прямой нарисуем прямоугольный треугольник TVU, катеты которого являются горизонтальными и вертикальными отрезками, а длина горизонтального отрезка равна |B| (см. рисунок). Вертикальный катет треугольника ∆TVU будет иметь длину |A|, поскольку наклон прямой равен -A/B.
Треугольники ∆SRP и ∆UVT подобны, так как они оба прямоугольные и ∠PSR ≅ ∠VUT, поскольку являются соответственными углами двух параллельных прямых PS и UV (вертикальные прямые) и секущей (исходная прямая)[7]. Выпишем отношения сторон этих треугольников:
Если точка S имеет координаты (x0,m), то |PS| = |y0 — m| и расстояние от P до прямой равно:
Поскольку S находится на прямой, мы можем найти значение m,
и, окончательно, получаем: [6]
Другой вариант этого доказательства — поместить точку V в точку P и вычислить площадь треугольника ∆UVT двумя способами, после чего получим , где D — высота треугольника ∆UVT на гипотенузу из точки P. Формула расстояния может быть использована, чтобы выразить , и в терминах координат P и коэффициентов уравнения исходной прямой, в результате чего получим требуемую формулу.
Доказательство с помощью проекции вектора
![Рисунок доказательства с помощью проекции вектора](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d3/Vectorpoint-to-line.svg/250px-Vectorpoint-to-line.svg.png)
Пусть P — точка с координатами (x0, y0) и пусть исходная прямая имеет уравнение ax + by + c = 0. Пусть Q = (x1, y1) — любая точка на прямой и n — вектор (a, b) с началом в точке Q. Вектор n перпендикулярен прямой, и расстояние d от точки P до прямой равно длине ортогональной проекции на n. Длина этой проекции равна:
Теперь
- так что и
Тогда
Поскольку Q лежит на прямой, , а тогда [8][9][10]
Другие формулы
Можно получить другие выражения для кратчайшего расстояния от точки до прямой. Эти выводы тоже требуют, чтобы прямая не была вертикальной или горизонтальной.
Пусть точка P задана координатами (). Пусть прямая задана уравнением . Уравнение прямой, перпендикулярной исходной прямой и проходящей через точку P, задаётся уравнением .
Точка, в которой эти две прямые пересекаются, является ближайшей точкой на исходной прямой для точки P. Тогда:
Мы можем решить это уравнение по x,
Координату y точки пересечения можно найти, подставив значение x в уравнение исходной прямой,
Подставив полученные значения в формулу расстояния , мы получим формулу кратчайшего расстояния от точки до прямой:
Если заметить, что m = -a/b и k = -c/b для уравнения ax + by + c = 0, после небольших выкладок получим стандартное выражение[2].
Формулировка с помощью векторов
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c2/Distance_from_a_point_to_a_line.svg/300px-Distance_from_a_point_to_a_line.svg.png)
Запишем прямую в векторном виде:
- ,
где x — вектор, задающий координаты любой точки на прямой, n — единичный вектор в направлении прямой, a — вектор, задающий две координаты точки на прямой, а t — скаляр. То есть для получения точки x на прямой начинаем с точки a на прямой и двигаемся на расстояние t вдоль прямой.
Расстояние от произвольной точки p до прямой задаётся формулой
Эта формула геометрически строится следующим образом: — это вектор из p в точку a на прямой. Тогда — это длина проекции на прямую, а тогда
— это вектор, являющийся проекцией на прямую. Тогда
является компонентой вектора , перпендикулярной прямой. Расстояние от точки до прямой, следовательно, равно просто норме этого вектора[11]. Эта общая формула может быть использована в более высоких размерностях.
Другая формулировка с помощью векторов
Если векторное пространство ортонормально, а прямая (d ) проходит через точку B и имеет вектор направления[англ.] , расстояние от точки A до прямой (d) равно
- ,
где — векторное произведение векторов и , а — норма вектора .
См. также
- Пересечение двух прямых[англ.]
- Расстояние между двумя прямыми[англ.]*
- Расстояние между скрещивающимися прямыми
Примечания
- ↑ Larson, Hostetler, 2007, p. 452.
- ↑ 1 2 Larson, Hostetler, 2007, p. 522.
- ↑ Привалов, 1966, с. 67.
- ↑ Делоне, Райков, 1948, с. 195.
- ↑ Laudanski, 2014.
- ↑ 1 2 Ballantine, Jerbert, 1952, с. 242–243.
- ↑ Если два треугольника окажутся по разные стороны от исходной прямой, эти углы будут накрест лежащими, а потому опять равными.
- ↑ Anton, 1994, с. 138-9.
- ↑ Федотов, Карпов, 2005, с. 86.
- ↑ Моденов, 1967, с. 152.
- ↑ Sunday, Dan. Lines and Distance of a Point to a Line . // softSurfer. Дата обращения: 6 декабря 2013.
Литература
- Делоне Б. Н., Райков Д. А. . Аналитическая геометрия. T. 1. — М., Л.: ОГИЗ, 1948. — 456 с.
- Моденов П. С. . Аналитическая геометрия. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1967. — 697 с.
- Привалов И. И. . Аналитическая геометрия. 13-е изд. — М.: Наука, 1966. — 272 с.
- Федотов А. Г., Карпов Б. В. . Аналитическая геометрия. — М.: МГИЭМ, 2005. — 158 с. — ISBN 5-94506-116-6.
- Anton H. . Elementary Linear Algebra. 7th ed. — Somerset: John Wiley & Sons, 1994. — ISBN 0-471-58742-7.
- Ballantine J. P., Jerbert A. R. Distance from a Line or Plane to a Point // American Mathematical Monthly. — 1952. — Vol. 59. — P. 242—243. — doi:10.2307/2306514.
- Larson R., Hostetler R. . Precalculus: A Concise Course. — Boston: Houghton Mifflin, 2007. — xvii + 526 + 102 p. — ISBN 0-618-62719-7.
- Laudański L. M. . Between Certainty and Uncertainty: Statistics and Probability in Five Units with Notes on Historical Origins and Illustrative Numerical Examples. — Berlin; Heidelberg: Springer Verlag, 2014. — x + 318 p. — (Intelligent Systems Reference Library, vol. 31). — ISBN 978-3-642-25696-7.
Дополнительная литература
- Deza M. M., Deza E. . Encyclopedia of Distances. 2nd ed. — Berlin; Heidelberg: Springer Verlag, 2013. — xviii + 650 p. — ISBN 978-3-642-30957-1. — P. 86.
Для улучшения этой статьи желательно:
|