Бассейны Ньютона

Бассейны Ньютона

Бассейны Ньютона для полинома пятой степени p(x) = x⁵ − 1. Разными цветами закрашены области притяжения для разных корней. Более тёмные области соответствуют большему числу итераций

Бассе́йны Нью́тона, фракталы Ньютона — разновидность алгебраических фракталов.

Области с фрактальными границами появляются при приближенном нахождении корней нелинейного уравнения алгоритмом Ньютона на комплексной плоскости (для функции действительной переменной метод Ньютона часто называют методом касательных, который, в данном случае, обобщается для комплексной плоскости).

Применим метод Ньютона для нахождения нуля функции комплексного переменного, используя процедуру:

$z_{n+1}=z_n-\frac{f(z_n)}{f'(z_n)}.\!$

Выбор начального приближения $z_0\!$ представляет особый интерес. Т.к. функция может иметь несколько нулей, в различных случаях метод может сходиться к различным значениям. Однако, что за области обеспечат сходимость к тому или иному корню?

История

Этот вопрос заинтересовал Артура Кэли ещё в 1879 году, однако разрешить его смогли лишь в 70-х годах двадцатого столетия с появлением вычислительной техники. Оказалось, что на пересечениях этих областей (их принято называть областями притяжения) образуются так называемые фракталы — бесконечные самоподобные геометрические фигуры.

Ввиду того, что Ньютон применял свой метод исключительно к полиномам, фракталы, образованные в результате такого применения, обрели название фракталов Ньютона или бассейнов Ньютона.

Три корня

Рассмотрим уравнение:

p(z) = 0, p(z) = z³ − 1

Оно имеет три корня. При выборе различных z₀ процесс будет сходится к различным корням (областям притяжения). Артур Кэли поставил задачу описания этих областей, границы которых, как оказалось, имеют фрактальную структуру.

Построение

По следующей формуле:

$z_{i+1} = z_i-\frac{p(z_i)}{p'(z_i)}=z_i-\frac{z_i^3-1}{3\,z_i^2}\!$

Литература

1. Акулич И. Л. Математическое программирование в примерах и задачах: Учеб. пособие для студентов эконом. спец. вузов — М.: Высш. шк., 1986.
2. Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копченова Н. П. Вычислительные методы для инженеров — М.: Мир, 1998.
3. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. Г. Численные методы — 8-е изд.. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000.
4. Вавилов С. И. Исаак Ньютон — М.: Изд. АН СССР, 1945.
5. Волков Е. А. Численные методы — М.: Физматлит, 2003.
6. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. Пер. с англ — М.: Мир, 1985.
7. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970. — С. 575-576.
8. Коршунов Ю. М., Коршунов Ю. М. Математические основы кибернетики — Энергоатомиздат, 1972.
9. Максимов Ю. А.,Филлиповская Е. А. Алгоритмы решения задач нелинейного программирования — М.: МИФИ, 1982.
10. Морозов А. Д. Введение в теорию фракталов — МИФИ, 2002.

• Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. — М.: «Институт компьютерных исследований», 2002.
• Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. — М.: «Мир», 1993.
• Федер Е. Фракталы. — М: «Мир», 1991.
• Фоменко А. Т. Наглядная геометрия и топология. — М.: изд-во МГУ, 1993.
• Фракталы в физике. Труды 6-го международного симпозиума по фракталам в физике, 1985. — М.: «Мир», 1988.
• Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. — Ижевск: «РХД», 2001.
• Морозов А. Д. Введение в теорию фракталов. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002, 109—111.
• Кроновер Р.М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. Москва: Постмаркет, 2000. 248—251.

См. также

• Алгебраические фракталы
  • Множество Мандельброта
  • Множество Жюлиа
  • Биоморф
• Геометрические фракталы
  • Кривая Коха (снежинка Коха)
  • Кривая Леви
  • Кривая Гильберта
  • Ломаная Дракона (Фрактал Хартера-Хейтуэя)
  • Множество Кантора
  • Треугольник Серпинского
  • Ковер Серпинского
  • Дерево Пифагора
• Стохастические фракталы
• Рукотворные фракталы
• Природные фракталы
• Детерминированные фракталы
• Недетерминированные фракталы

Ссылки

• Красота фракталов