Кривая Пеано

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Кривая Пеано — общее название для параметрических кривых, образ которых содержит квадрат (или, в более общем смысле, открытые области пространства)

Свойства[править | править вики-текст]

  • Всякая кривая Пеано имеет кратные точки.
    • Не существует кривой Пеано, всякая точка которой была бы простой или двукратной, но существует кривая Пеано, имеющая самое большее лишь трёхкратные точки (в счётном числе). Такова, например, кривая, построенная самим Пеано; конструкция Гильберта ниже содержит четырёхкратные точки (также в счётном числе).
  • Существуют кривые Пеано, сохраняющие меру, то есть мера Лебега подмножества квадрата совпадает с мерой Лебега его прообраза на отрезке. Нижеприведённый пример Гильберта обладает этим свойством.
  • С понятием кривой Пеано связан любопытный факт существования пространственных простых дуг, проектирующихся на плоскость в виде сплошных площадей, — такова, например, кривая
    r(t)=(x(t),y(t),t)
где первые две функции задают кривую Пеано. Хотя эта дуга и может защитить от вертикальных солнечных лучей, она не может служить защитой от дождя так как не есть непрерывная поверхность.

Примеры[править | править вики-текст]

Аналитическое построение.[1]Рассмотрим функции f(x) и g(x), определенные на отрезке [0,1] следующим образом. Пусть разложение x в троичной системе счисления имеет вид 0, x1 x2 x3 ... xk (каждое из xk равно 0, 1 или 2). Тогда f(x) мы определим как число, имеющее следующее разложение 0,f1 f2 f3 ... fk в троичной системе:


f1 = x1
f2 = x3, если x2 четно, и 2-x3, если x2 нечетно
...
fk = x2k-1, если x2+x4+...+x2k-2 четно

fk = 2-x2k-1, если x2+x4+...+x2k-2 нечетно

Аналогичным образом определим функцию g(x) = 0, g1 g2 ... gk... в троичной системе счисления:

g1 = x2, если x1 четно, и 2-x2, если x1 нечетно
...
gk = x2k, если x1+x3+...+x2k-1 четно
gk =2-x2k, если x1+x3+...+x2k-1 нечетно

Рассмотрим теперь отображение: x → [f(x), g(x)]. Можно доказать, что:

1. Функции f(x) и g(x) корректно определены (т.е. в числах, допускающих 2 представления в троичной системе счисления, значения f(x) и g(x) окажутся не зависящими от выбора представления).

2. Функции f(x) и g(x) непрерывны на [0,1].

3. Система уравнений f(x) = a и g(x) = b имеет не менее 1 и не более 4 решений при любых a и b, лежащих на отрезке [0,1].

Тем самым, отображение с координатными функциями f и g на плоскости x → [f(x),g(x)] непрерывно переводит отрезок [0,1] в квадрат [0,1]2.

Пример кривой Пеано, построенный Гильбертом. Здесь показан порядок обхода квадратиков 1-6 уровня.

Геометрическое построение. Рассмотрим единичный отрезок и единичный квадрат. На 1-м шаге построения разделим квадрат средними линиями на 4 равных квадратика, а отрезок - на 4 равные части. Получим квадратики и отрезочки 1-го уровня. На каждом последующем шаге делим квадратики и отрезочки предыдущего уровня на 4 части - получаем квадратики и отрезочки следующего уровня. Имеем 4 квадратика 1-го уровня, 16 квадратиков 2-го уровня и т.д.; аналогично с отрезочками. Зададим порядок обхода квадратиков каждого уровня. Для 1-го, 2-го, ..., 6-го уровня порядок обхода показан на рисунке. Порядок обхода определяет взаимно-однозначное соответствие между множеством квадратиков n-го уровня и множеством отрезочков n-го уровня.

Пусть теперь x - произвольная точка исходного единичного отрезка. Пусть k1 - номер отрезочка 1-го уровня, которому принадлежит точка x, k2 - номер отрезочка 2-го уровня, которому принадлежит точка x и т.д. Рассмотрим квадратики Q1, Q2, ... с теми же номерами k1, k2, .... Порядок обхода квадратиков устроен таким образом, что (внимание!) квадратики Q1, Q2, ... образуют вложенную систему. По теореме о вложенной (стягивающейся) системе отрезков, квадратики Q1, Q2, ... имеют единственную общую точку y.

Если x принадлежит одновременно 2-м отрезочкам, то эти отрезочки соответствуют 2-м квадратикам с общей стороной - так устроен порядок обхода. Назовем такие квадратики смежными. В этом случае вместо квадратиков Q1, Q2, ... рассмотрим прямоугольники - объединения смежных квадратиков. И тогда y - единственная общая точка вложенной системы указанных прямоугольников.

Аналогичное рассуждение показывает, что каждая точка y квадрата будет соответствовать некоторой точке x единичного отрезка.

Построенное отображение x → y определяет искомую кривую Пеано. Непрерывность отображения следует из того, что близким отрезочкам соответствуют близкие квадратики. Каждая точка y имеет:

  • 1 прообраз x (если y не принадлежит границам 2-х несмежных квадратиков никакого уровня),
  • 2 прообраза (если y принадлежит границам не более 2-х несмежных квадратиков некоторого уровня),
  • 3 прообраза (если y принадлежит границам 4-х квадратиков некоторого уровня, одна пара которых - смежные),
  • 4 прообраза (если y принадлежит границам 4-х попарно несмежных квадратиков некоторого уровня).

Замечания.

1. Очевидно, что примеры, данные в предыдущих двух пунктах различны. Который из них принадлежит Гильберту?

2. Кривая, задающая порядок обхода квадратиков, в некотором смысле, является приближением к кривой Пеано: она задает порядок, в котором кривая Пеано заметает квадратики. И не более того.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

  • Далеко идущее обобщение содержит теорема Мазуркевича:

Если Xконтинуум, то эквивалентны условия:

  1. пространство X локально связно,
  2. X — непрерывный образ интервала.


История[править | править вики-текст]

Первая такая кривая была построена Джузеппе Пеано в 1890.

Литература[править | править вики-текст]

  • Peano G., «Math. Ann.», 1890, Bd 36, S. 157;
  • Александров П. С, Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977;
  • Лузин Н. Н., Теория функций действительного переменного, 2 изд., М., 1948.

Ссылки[править | править вики-текст]

  1. Идея почерпнута в книге: Макаров Б.М. Голузина М.Г. Лодкин А.А. Подкорытов А.Н. "Избранные задачи по вещественному анализу" М.:Наука, 1992, стр. 44.