Треугольник Серпинского

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Треугольник Серпинского

Треугольник Серпинского — фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора, предложенный польским математиком Вацлавом Серпинским в 1915 году. Также известен как «решётка» или «салфетка» Серпинского.

Построение[править | править вики-текст]

Итеративный метод[править | править вики-текст]

Построение треугольника Серпинского

Середины сторон равностороннего треугольника T_0 соединяются отрезками. Получаются 4 новых треугольника. Из исходного треугольника удаляется внутренность срединного треугольника. Получается множество T_1, состоящее из 3 оставшихся треугольников «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из треугольников первого ранга, получим множество T_2, состоящее из 9 равносторонних треугольников второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность T_0\supset T_1\supset\dots\supset T_n\supset\dots, пересечение членов которой есть треугольник Серпинского.

Метод хаоса[править | править вики-текст]

  1. Задаются координаты аттракторов - вершин исходного треугольника T_0.
  2. Вероятностное пространство (0; 1) разбивается на 3 равных части, каждая из которых соответствует одному аттрактору.
  3. Задаётся некоторая начальная точка P_0, лежащая внутри треугольника T_0.
  4. Начало цикла построения точек, принадлежащих множеству треугольника Серпинского.
    1. Генерируется случайное число n \in (0; 1).
    2. Текущим аттрактором принимается та вершина, на вероятностное подпространство которой выпало сгенерированное число.
    3. Строится точка P_i с новыми координатами: x_i = \frac{x_{i-1} + x_A}{2}; y_i = \frac{y_{i-1} + y_A}{2}, где: x_{i-1}, y_{i-1} – координаты предыдущей точки P_i; x_A, y_A – координаты текущей точки-аттрактора.
  5. Возврат к началу цикла.

Треугольник Серпинского состоит из 3 одинаковых частей, коэффициент подобия 1/2.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Треугольник Серпинского замкнут.
  • Треугольник Серпинского имеет топологическую размерность 1.
  • Важным свойством треугольника Серпинского является его самоподобие — ведь он состоит из трёх своих копий, уменьшенных в два раза (это части треугольника Серпинского, содержащиеся в маленьких треугольниках, примыкающих к углам).
  • Треугольник Серпинского имеет промежуточную (то есть, нецелую) Хаусдорфову размерность =\ln3/\ln2\approx 1,585. В частности,

Интересные факты[править | править вики-текст]

  • Если в треугольнике Паскаля все нечётные числа окрасить в чёрный цвет, а чётные — в белый, то образуется треугольник Серпинского.
  • Образования, похожие на треугольник Серпинского, возникают в игре Жизнь из длинной вертикальной линии[1].

Примечания[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]