Треугольник Серпинского

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Треугольник Серпинского.
Иллюстрация фрактальности (самоподобия) треугольника Серпинского.

Треугольник Серпинского — фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора, предложенный польским математиком Вацлавом Серпинским в 1915 году. Также известен как «решётка» или «салфетка» Серпинского.

Построение[править | править исходный текст]

Равносторонний треугольник M_0 делится прямыми, параллельными его сторонам, на 4 равных равносторонних треугольника. Из треугольника удаляется центральный треугольник. Получается множество M_1, состоящее из 3 оставшихся треугольников «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из треугольников первого ранга, получим множество M_2, состоящее из 9 равносторонних треугольников второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность

M_0\supset M_1\supset\dots\supset M_n\supset\dots ,

пересечение членов которой есть треугольник Серпинского.

Построение треугольника Серпинского
Построение треугольника Серпинского

Свойства[править | править исходный текст]

  • Треугольник Серпинского замкнут.
  • Треугольник Серпинского имеет топологическую размерность 1.
  • Важным свойством треугольника Серпинского является его самоподобие — ведь он состоит из трёх своих копий, уменьшенных в два раза (это части треугольника Серпинского, содержащиеся в маленьких треугольниках, примыкающих к углам).
  • Треугольник Серпинского имеет промежуточную (то есть, нецелую) Хаусдорфову размерность =\ln3/\ln2\approx 1,585. В частности,

Интересные факты[править | править исходный текст]

  • Если в треугольнике Паскаля все нечётные числа окрасить в чёрный цвет, а чётные — в белый, то образуется треугольник Серпинского.
  • Образования, похожие на треугольник Серпинского, возникают в игре Жизнь из длинной вертикальной линии[1].
  • Треугольник Серпинского напоминает рекурсивный трифорс.

Примечания[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]