Треугольник Серпинского

Треугольник Серпинского

Треугольник Серпинского — фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора, предложенный польским математиком Серпинским в 1915 году. Также известен как «решётка» или «салфетка» Серпинского.

Построение

Равносторонний треугольник $M_0$ делится прямыми, параллельными его сторонам, на 4 равных равносторонних треугольника. Из треугольника удаляется центральный треугольник. Получается множество $M_1$, состоящее из 3 оставшихся треугольников «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из треугольников первого ранга, получим множество $M_2$, состоящее из 9 равносторонних треугольников второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность

$M_0\supset M_1\supset\dots\supset M_n\supset\dots ,$

пересечение членов которой есть треугольник Серпинского.

Построение треугольника Серпинского

Построение треугольника Серпинского

Свойства

• Треугольник Серпинского замкнут.
• Треугольник Серпинского имеет топологическую размерность 1.
• Треугольник Серпинского имеет промежуточную (то есть, нецелую) Хаусдорфову размерность $=\ln3/\ln2\approx 1,585$. В частности,
  • треугольник Серпинского имеет нулевую меру Лебега.

Интересные факты

• Если в треугольнике Паскаля все нечётные числа окрасить в чёрный цвет, а чётные — в белый, то образуется треугольник Серпинского.
• Образования, похожие на треугольник Серпинского, возникают в игре Жизнь из длинной вертикальной линии.

Ссылки

• Треугольник Серпинского: тематические медиа-файлы на Викискладе
• Weisstein, Eric W. Sierpiński Sieve (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.