Губка Менгера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
5 итераций
На 6-й итерации
Губка Менгера после четырёх итераций

Губка Менгера — геометрический фрактал, один из трёхмерных аналогов ковра Серпинского.

Построение[править | править вики-текст]

Итеративный метод[править | править вики-текст]

Куб C_0 с ребром 1 делится плоскостями, параллельными его граням, на 27 равных кубов. Из куба C_0 удаляются центральный куб и все прилежащие к нему по двумерным граням кубы этого подразделения. Получается множество C_1, состоящее из 20 оставшихся замкнутых кубов «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из кубов первого ранга, получим множество C_2, состоящее из 400 кубов второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность

C_0\supset C_1\supset\dots\supset C_n\supset\dots,

пересечение членов которой есть губка Менгера.

Метод хаоса[править | править вики-текст]

  1. Задаются координаты 20 точек-аттракторов. Ими являются 8 вершин и 12 середин рёбер исходного куба C_0.
  2. Вероятностное пространство (0; 1) разбивается на 20 равных частей, каждая из которых соответствует одному аттрактору.
  3. Задаётся некоторая начальная точка P_0, лежащая внутри куба C_0.
  4. Начало цикла построения точек, принадлежащих множеству губки Менгера.
    1. Генерируется случайное число n \in (0; 1).
    2. Текущим аттрактором принимается тот, на вероятностное подпространство которого выпало сгенерированное число.
    3. Строится точка P_i с новыми координатами: x_i = \frac{x_{i-1} + 2x_A}{3}; y_i = \frac{y_{i-1} + 2y_A}{3}; z_i = \frac{z_{i-1} + 2z_A}{3}, где: x_{i-1}, y_{i-1}, z_{i-1} – координаты предыдущей точки P_{i-1}; x_A, y_A, z_A – координаты текущей точки-аттрактора.
  5. Возврат к началу цикла.

Губка Менгера состоит из 20 одинаковых частей, коэффициент подобия 1/3.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Каждая грань исходного куба выглядит как ковёр Серпинского.
  • Губка Менгера имеет промежуточную (то есть не целую) Хаусдорфову размерность, которая равна \ln20/\ln3\approx 2,73 поскольку она состоит из 20 равных частей, каждая из которых подобна всей губке с коэффициентом подобия 1/3.
  • Губка Менгера имеет топологическую размерность 1, более того
    • Губка Менгера топологически характеризуется как одномерный связный локально связный метризуемый компакт, не имеющий локально разбивающих точек (то есть для любой связной окрестности U любой точки x\in M множество U\backslash x связно) и не имеющий непустых открытых и вложимых в плоскость подмножеств.
  • Губка Менгера является универсальной кривой Урысона, то есть она обладает тем свойством, что какова бы ни была кривая Урысона C, в губке Менгера найдется подмножество C', гомеоморфное C.
  • Губка Менгера имеет нулевой объем, но бесконечную площадь граней. Объем определяется формулой 20/27 на каждую итерацию.

См. также[править | править вики-текст]

Фильм[править | править вики-текст]

шкатулка из фильма "Восставшие из Ада"

На основе губки Менгера была построена шкатулка французским инженером ЛеМаршаном из серии фильмов "Hellraiser".