Губка Менгера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
5 итераций
На 6-й итерации
Губка Менгера после четырёх итераций

Губка Менгера — геометрический фрактал, один из трёхмерных аналогов ковра Серпинского.

Построение[править | править исходный текст]

Куб K_0 с ребром 1 делится плоскостями, параллельными его граням, на 27 равных кубов. Из куба K_0 удаляются центральный куб и все прилежащие к нему по двумерным граням кубы этого подразделения. Получается множество K_1, состоящее из 20 оставшихся замкнутых кубов «первого ранга». Поступая точно так же с каждым из кубов первого ранга, получим множество K_2, состоящее из 400 кубов второго ранга. Продолжая этот процесс бесконечно, получим бесконечную последовательность

K_0\supset K_1\supset\dots\supset K_n\supset\dots

пересечение членов которой есть губка Менгера.

Свойства[править | править исходный текст]

  • Каждая грань исходного куба выглядит как ковёр Серпинского.
  • Губка Менгера имеет промежуточную (то есть не целую) Хаусдорфову размерность, которая равна \ln20/\ln3\approx 2,73 поскольку она состоит из 20 равных частей, каждая из которых подобна всей губке с коэффициентом подобия 1/3.
  • Губка Менгера имеет топологическую размерность 1, более того
    • Губка Менгера топологически характеризуется как одномерный связный локально связный метризуемый компакт, не имеющий локально разбивающих точек (то есть для любой связной окрестности U любой точки x\in M множество U\backslash x связно) и не имеющий непустых открытых и вложимых в плоскость подмножеств.
  • Губка Менгера является универсальной кривой Урысона, то есть она обладает тем свойством, что какова бы ни была кривая Урысона C, в губке Менгера найдется подмножество C', гомеоморфное C.
  • Губка Менгера имеет нулевой объем, но бесконечную площадь граней. Объем определяется формулой 20/27 на каждую итерацию.

См. также[править | править исходный текст]