Размерность Лебега

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Размерность Лебега или топологическая размерностьразмерность, определенная посредством покрытий, важнейший инвариант топологического пространства. Размерность Лебега пространства X обычно обозначается \dim X.

Определение[править | править вики-текст]

Для метрических пространств[править | править вики-текст]

Для компактного метрического пространства X размерность Лебега определяется как наименьшее целое число n, обладающее тем свойством, что при любом \varepsilon>0 существует конечное открытое \varepsilon-покрытие X, имеющее кратность \leqslant n+1;

При этом

  • \varepsilon-покрытием метрического пространства называется покрытие, все элементы которого имеют диаметр <\varepsilon, а
  • кратностью конечного покрытия пространства X называется наибольшее такое целое число k, что существует точка пространства X, содержащаяся в k элементах данного покрытия.

Для топологических пространств[править | править вики-текст]

Для произвольного нормального (в частности, метризуемого) пространства X размерностью Лебега называется наименьшее целое число n такое, что для всякого конечного открытого покрытия пространства X существует вписанное в него (конечное открытое) покрытие кратности n+1.

При этом покрытие \mathcal P называется вписанным в покрытие \mathcal Q, если каждый элемент покрытия \mathcal P является подмножеством хотя бы одного элемента покрытия \mathcal Q.

Примеры[править | править вики-текст]

История[править | править вики-текст]

Впервые введена Лебегом. Он высказал гипотезу, что размерность n-мерного куба равна n. Брауэр впервые доказал это. Точное определение инварианта \dim X (для класса метрических компактов) дал Урысон.

Литература[править | править вики-текст]

  • Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973