Гравитационные волны (гидродинамика)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Гравитацио́нные во́лны на воде́ — разновидность волн на поверхности жидкости, при которых сила, возвращающая деформированную поверхность жидкости к состоянию равновесия, есть просто сила тяжести, связанная с перепадом высот гребня и впадины в гравитационном поле.

Траектории условных частиц воды при не очень большой (сравнимой с длиной волны) глубине представляют собой эллипс, что иллюстрируется качанием бутылки

Общие свойства[править | править вики-текст]

Гравитационные волны на воде — это нелинейные волны. Точный математический анализ возможен лишь в линеаризованном приближении и в отсутствие турбулентности. Кроме того, обычно речь идёт про волны на поверхности идеальной жидкости. Результаты точного решения в этом случае описаны ниже.

Гравитационные волны на воде не поперечны и не продольны. При колебании частицы жидкости описывают некоторые кривые, то есть перемещаются как в направлении движения, так и поперёк него. В линеаризованном приближении эти траектории имеют вид окружностей. Это приводит к тому, что профиль волн не синусоидальный, а имеет характерные заострённые гребни и более пологие провалы.

Нелинейные эффекты сказываются, когда амплитуда волны становится сравнимой с её длиной. Одним из характерных эффектов в этом режиме является появление изломов на вершинах волн. Кроме того, появляется возможность опрокидывания волны. Эти эффекты пока не поддаются точному аналитическому расчёту.

Закон дисперсии для слабых волн[править | править вики-текст]

Поведение волн малой амплитуды можно с хорошей точностью описать линеаризованными уравнениями движения жидкости. Для справедливости этого приближения необходимо, чтобы амплитуда волны была существенно меньше как длины волны, так и глубины водоёма.

Имеется две предельные ситуации, для которых решение задачи имеет наиболее простой вид — это гравитационные волны на мелкой воде и на глубокой воде.

Гравитационные волны на мелкой воде[править | править вики-текст]

Приближение волн на мелкой воде справедливо в тех случаях, когда длина волны существенно превышает глубину водоёма. Классический пример таких волн — это цунами в океане: до тех пор, пока цунами не вышла на берег, она представляет собой волну амплитудой порядка нескольких метров и длиной в десятки и сотни километров, что, конечно же, существенно больше глубины океана.

Закон дисперсии и скорости волны в этом случае имеет вид:

\omega = \sqrt{gH}\cdot k\,;\quad v_{ph} = v_{gr} = \sqrt{gH},

где H — глубина воды, g — напряженность гравитационного поля (ускорение свободного падения).

Такой закон дисперсии приводит к некоторым явлениям, которые можно легко заметить на морском берегу.

  • Даже если волна в открытом море шла под углом к берегу, то при выходе на берег гребни волны имеют тенденцию разворачиваться параллельно берегу. Это связано с тем, что вблизи берега, когда глубина начинает постепенно уменьшаться, скорость волны падает. Поэтому косая волна притормаживает на подходе к берегу, разворачиваясь при этом.
  • За счёт аналогичного механизма при подходе к берегу уменьшается продольный размер цунами, при этом высота волны возрастает.

Гравитационные волны на глубокой воде[править | править вики-текст]

Приближение волны на глубокой воде справедливо, когда глубина водоёма значительно превышает длину волны. В этом случае для простоты рассматривают бесконечно глубокий водоём. Это обоснованно, поскольку при колебаниях поверхности реально движется не вся толща воды, а лишь приповерхностный слой глубиной порядка длины волны.

Закон дисперсии и скорости волны в этом случае имеет вид:


\omega = \sqrt{gk}\,;\quad v_{ph} = 2 v_{gr} = \sqrt{{g\over k}}.

Из выписанного закона следует, что и фазовая, и групповая скорость гравитационных волн в этом случае оказывается пропорциональной длине волны. Другими словами, длинноволновые колебания будут распространяться по воде быстрее коротковолновых, что приводит к ряду интересных явлений:

  • Бросив камень в воду и глядя на круги, образуемые им, можно заметить, что граница волн расширяется не равномерно, а примерно равноускоренно. При этом чем больше граница, тем более длинноволновыми колебаниями она формируется.
  • Красивым следствием выписанного закона дисперсии являются корабельные волны.

Гравитационные волны в общем случае[править | править вики-текст]

Если длина волны сравнима с глубиной бассейна H, то закон дисперсии в этом случае имеет вид:


\omega = \sqrt{gk\cdot th(kH)}\,.

Некоторые проблемы теории гравитационных волн на воде[править | править вики-текст]

  • До сих пор не понят механизм формирования и устойчивости так называемых волн-убийц — внезапных волн экстремальной амплитуды.

Литература[править | править вики-текст]

  • Грац Ю. В. Лекции по гидродинамике.-М., Ленанд, 2014