Уравнения Навье — Стокса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
 Просмотр этого шаблона  Механика сплошных сред
BernoullisLawDerivationDiagram.svg
Сплошная среда
См. также: Портал:Физика

Уравне́ния Навье́ — Сто́кса — система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая движение вязкой ньютоновской жидкости. Уравнения Навье — Стокса являются одними из важнейших в гидродинамике и применяются в математическом моделировании многих природных явлений и технических задач. Названы по имени французского физика Анри Навье и британского математика Джорджа Стокса.

В случае несжимаемой жидкости система состоит из двух уравнений:

В гидродинамике обычно уравнением Навье — Стокса называют только одно векторное уравнение движения[1][2][3][4][5][6]. Впервые уравнение Навье — Стокса было получено Навье (1827, несжимаемая жидкость[7]) и Пуассоном (1831, сжимаемая жидкость[8]), которые исходили из модельных представлений о молекулярных силах. Позже феноменологический вывод уравнения был дан Сен-Венаном[9] и Стоксом[10].

В векторном виде для несжимаемой жидкости они записываются следующим образом:

\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}=-(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v}+\nu\Delta\vec{v}-\frac{1}{\rho}\nabla p+\vec{f},
\nabla\cdot\vec{v}=0,

где \! \nabla — оператор набла, \! \Delta — векторный оператор Лапласа, \! t — время, \! \nu — коэффициент кинематической вязкости, \! \rho — плотность, \! p — давление, \vec{v}=(v^1,\;\ldots,\;v^n) — векторное поле скоростей, \vec{f} — векторное поле массовых сил. Неизвестные \! p и \vec{v} являются функциями времени \! t и координаты x\in\Omega, где \Omega\subset\R^n, n=2,\;3 — плоская или трёхмерная область, в которой движется жидкость. Обычно в систему уравнений Навье — Стокса добавляют краевые и начальные условия, например:

\vec{v}|_{\partial\Omega}=0,
\vec{v}|_{t=0}=\vec{v}_0.

Иногда в систему уравнений Навье — Стокса дополнительно включают уравнение теплопроводности и уравнение состояния.

При учёте сжимаемости уравнения Навье — Стокса принимают следующий вид:

\rho\left(\frac{\partial v_i}{\partial t}+v_k\frac{\partial v_i}{\partial x_k}\right)=-\frac{\partial p}{\partial x_i}+\frac{\partial}{\partial x_k}\left\{\mu\left(\frac{\partial v_i}{\partial x_k}+\frac{\partial v_k}{\partial x_i}-\frac{2}{3}\delta_{i,\;k}\frac{\partial v_l}{\partial x_l}\right)\right\}+\frac{\partial}{\partial x_k}\left(\zeta\frac{\partial v_l}{\partial x_l}\delta_{i,\;k}\right),
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla\cdot (\rho \vec v)=0.

где \! \mu — коэффициент динамической вязкости (сдвиговая вязкость), \! \zeta — «вторая вязкость», или объёмная вязкость, \delta_{i,\;k} — дельта Кронекера.

Анализ и решение уравнений[править | править вики-текст]

В анализе решений уравнений заключается суть одной из семи «проблем тысячелетия», за решение которых Математический институт Клэя назначил премию в 1 млн долларов США. Необходимо доказать или опровергнуть существование глобального гладкого решения задачи Коши для трёхмерных уравнений Навье — Стокса. Нахождение общего аналитического решения системы Навье — Стокса для пространственного или плоского потока осложняется тем, что оно нелинейное и сильно зависит от начальных и граничных условий.

По состоянию на 2014 год подтверждённые решения этих уравнений найдены лишь в некоторых частных случаях: существует несколько ситуаций (обусловленных простой геометрией), которые решены в аналитическом виде. В остальных случаях используется численное моделирование. 10 января 2014 года казахстанский математик Мухтарбай Отелбаев опубликовал статью, в которой утверждает, что дал полное решение проблемы[11], проверка результата международным сообществом осложнена тем, что работа написана на русском языке[12]. В сообществах математиков обсуждаются контрпримеры к основным утверждениям[13]. На фоне обсуждения работы Отелбаева, 6 февраля 2014 года лауреатом Филдсовской премии Теренсом Тао был опубликован препринт, в котором утверждается невозможность решения «проблемы тысячелетия» существующими на настоящий момент средствами[14].

Некоторые точные решения:

  1. Стационарные течения в простых каналах (течение Пуазёйля, течение Тейлора — Куэтта, течение Куэтта и пр.)
  2. Солитоны и нелинейные волны. Обычный солитон может[источник не указан 463 дня] являться решением системы при очень сложных граничных условиях. Впервые он наблюдался экспериментально в канале инженером Скотом Расселом.
  3. Решение, которое существует конечное время (так называемые «режимы с обострением», англ. blow-up). Гипотеза об этом выдвинута Жаном Лере (фр. Jean Leray) в 1933 году. Он предположил, что в жидкости турбулентность (хаос) образуется благодаря образованию точек или вихревой нити, на которой некоторая компонента скорости становится бесконечной.
  4. Звуковые колебания. При малой амплитуде волн они также становятся решением[источник не указан 463 дня]. Нелинейные члены уравнения можно отбросить, так как они не влияют на решение. Решением являются гармонические функции синуса или косинуса, то есть звуковые колебания.

Основные свойства системы Навье — Стокса[править | править вики-текст]

  1. При превышении числа Рейнольдса некоторой критической величины аналитическое точное решение для пространственного или плоского потока даёт хаотический вид течения (так называемая турбулентность). В частном случае оно связано с теорией Фейгенбаума или другими сценариями перехода к хаосу. При уменьшении числа Рейнольдса ниже критического решение опять дает нехаотический вид течения.
  2. Исключительная чувствительность к изменению коэффициентов уравнения при турбулентном режиме: при изменении числа Re на 0,05 % решения совершенно отличаются друг от друга.

Применение[править | править вики-текст]

Будучи дополненной уравнениями переноса тепла и переноса массы, а также соответствующих массовых сил, система уравнений Навье — Стокса может описывать конвекцию, термодиффузию в жидкостях, поведение многокомпонентных смесей различных жидкостей и т. п.

Если же в уравнение в качестве массовой силы ввести силу Лоренца, и дополнить систему уравнениями Максвелла для поля в сплошной среде, то модель позволяет описывать явления электро- и магнитогидродинамики. В частности, такие модели успешно применяются при моделировании поведения плазмы, межзвёздного газа.

Система уравнений Навье-Стокса лежит в основе геофизической гидродинамики, в том числе, применяется для описания течений в мантии Земли («проблема динамо»).

Также вариации уравнения Навье — Стокса используются в динамической метеорологии для описания движения воздушных масс атмосферы, в частности при формировании прогноза погоды. Для описания реальных течений в различных технических устройствах приемлемую точность численного решения можно получить только при такой расчётной сетке, ячейки которой меньше самого мелкого вихря. Это требует очень больших затрат расчётного времени на современных компьютерах. Поэтому были созданы различные модели турбулентности, упрощающие расчёт реальных потоков.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Седов Л.И. Механика сплошной среды. — М.: Наука, 1970. — Т. 1. — 492 с.
  2. Ландау, Лифшиц, с. 73.
  3. Прандтль Л. Гидроаэромеханика. — М.–Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. — С. 147. — 576 с. — ISBN 5-93972-015-2
  4. Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. — М.: Физматлит, 1963. — Т. 2. — С. 387. — 728 с.
  5. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости / Пер. с англ. под ред. Г.Ю.Степанова. — М.: Мир, 1973. — С. 194. — 760 с.
  6. Тарг С.М.. Навье — Стокса уравнения // Большая советская энциклопедия.
  7. Navier Mémoire sur les lois du mouvement des fluides // Mémoires de l'Académie des sciences de l'Institut de France. — 1827 (1823). — Т. 6.
  8. Poisson Mémoire sur les équations générales de l'équilibre et du mouvement des corps solides élastiques et des fluides // Journal de l'École Polytechnique. — 1831. — Т. 13.
  9. de Saint-Venant Note à joindre au Mémoire sur la dynamique des fluides, présenté le 14 avril 1834 // Comptes rendus. — 1843. — Т. 17. — № 22.
  10. Stokes On the theories of internal friction of fluids in motion, and of the equilibrium and motion of elastic solids // Transactions of the Cambridge Philosophical Society. — 1845. — Т. 8.
  11. Мухтарбай Отелбаев Существование сильного решения уравнения Навье - Стокса (рус.) // Математический журнал. — 2013. — Т. 13. — № 4 (50). — С. 5—104. — ISSN 1682-0525. В работе дано решение шестой проблемы тысячелетия: доказаны существование и единственность сильного решения трёхмерной задачи Навье — Стокса с периодическими краевыми условиями по пространственным переменным
  12. Jacob Aron, Katia Moskvitch. Kazakh mathematician may have solved $1 million puzzle (англ.). New Scientist (22 January 2014). Проверено 24 января 2014.
  13. Уравнение - налево! (рус.) (6 февраля 2014). Проверено 12 февраля 2014.
  14. Современная математика оказалась бессильна перед задачей Навье — Стокса (рус.). Лента.ру (25 февраля 2014). Проверено 4 июня 2014.

Литература[править | править вики-текст]

  • Темам Р. Уравнения Навье — Стокса. Теория и численный анализ. — 2-е изд. — М.: Мир, 1981. — 408 с.
  • Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Гидродинамика. — Издание 4-е, стереотипное.. — М.: Наука, 1988. — 736 с. — («Теоретическая физика», том VI).
  • Кутепов А. М., Стерман Л. С., Стюшин Н. Г. Гидродинамика и теплообмен при парообразовании. — 3-е изд., испр. — М.: Высшая школа, 1986. — 448 с.
  • Кутепов А. М., Полянин А. Д., Запрянов З. Д., Вязьмин А. В., Казенин Д. А. Химическая гидродинамика. — М.: Квантум, 1996. — 336 с. — 1500 экз.

Ссылки[править | править вики-текст]