Дружественные числа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Дру́жественные чи́сла — два различных натуральных числа, для которых сумма всех собственных делителей первого числа равна второму числу и наоборот, сумма всех собственных делителей второго числа равна первому числу. Иногда частным случаем дружественных чисел считаются совершенные числа: каждое совершенное число дружественно себе. Большого значения для теории чисел эти пары не имеют, но являются любопытным элементом занимательной математики.

История[править | править вики-текст]

Дружественные числа были открыты последователями Пифагора, которые, однако, знали только одну пару дружественных чисел — 220 и 284 (Делители для 220 это 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 и 110, сумма делителей равна 284. Делители для 284 это 1, 2, 4, 71 и 142, сумма которых равна 220).

Формулу для нахождения некоторых пар дружественных чисел предложил примерно в 850 году арабский астроном и математик Сабит ибн Курра (826901). Его формула позволила найти две новые пары дружественных чисел. Много столетий спустя Эйлер нашёл ещё 65 пар дружественных чисел. Одна из них — 17296 и 18416. Но общего способа нахождения таких пар нет до сих пор.

Неизвестно, конечно или бесконечно количество пар дружественных чисел. На сентябрь 2007 года известно 11994387 пар дружественных чисел.[1] Все они состоят из чисел одной чётности. Существует ли чётно-нечётная пара дружественных чисел, неизвестно. Также неизвестно, существуют ли взаимно простые дружественные числа, но если такая пара дружественных чисел существует, то их произведение должно быть больше 10^{67}.

Примеры[править | править вики-текст]

Ниже приведены все пары дружественных чисел, меньших 1 000 000.

  1. 220 и 284 (Пифагор, около 500 до н. э.)
  2. 1184 и 1210 (Паганини, 1866)
  3. 2620 и 2924 (Эйлер, 1747)
  4. 5020 и 5564 (Эйлер, 1747)
  5. 6232 и 6368 (Эйлер, 1750)
  6. 10744 и 10856 (Эйлер, 1747)
  7. 12285 и 14595 (Браун, 1939)
  8. 17296 и 18416 (Ибн ал-Банна, около 1300, Фариси, около 1300, Ферма, Пьер, 1636)
  9. 63020 и 76084 (Эйлер, 1747)
  10. 66928 и 66992 (Эйлер, 1750)
  11. 67095 и 71145 (Эйлер, 1747)
  12. 69615 и 87633 (Эйлер, 1747)
  13. 79750 и 88730 (Рольф (Rolf), 1964)
  14. 100485 и 124155
  15. 122265 и 139815
  16. 122368 и 123152
  17. 141664 и 153176
  18. 142310 и 168730
  19. 171856 и 176336
  20. 176272 и 180844
  21. 185368 и 203432
  22. 196724 и 202444
  23. 280540 и 365084
  24. 308620 и 389924
  25. 319550 и 430402
  26. 356408 и 399592
  27. 437456 и 455344
  28. 469028 и 486178
  29. 503056 и 514736
  30. 522405 и 525915
  31. 600392 и 669688
  32. 609928 и 686072
  33. 624184 и 691256
  34. 635624 и 712216
  35. 643336 и 652664
  36. 667964 и 783556
  37. 726104 и 796696
  38. 802725 и 863835
  39. 879712 и 901424
  40. 898216 и 980984

Пары дружественных чисел образуют последовательность:

220, 284, 1184, 1210, 2620, 2924, 5020, 5564, 6232, 6368, … (последовательность A063990 в OEIS)

Способы построения[править | править вики-текст]

Формула Сабита[править | править вики-текст]

Если для натурального числа n>1 все три числа:

p=3\times 2^{n-1}-1,
q=3\times 2^n-1,
r=9\times 2^{2n-1}-1,

являются простыми, то числа 2^npq и 2^nr образуют пару дружественных чисел. Эта формула даёт пары (220, 284), (17296, 18416) и (9363584, 9437056) соответственно для n=2,\;4,\;7, но больше никаких пар дружественных чисел для n<20000 не существует. Кроме того, многие дружественные числа, например (6232, 6368), не могут быть получены по этой формуле.

Метод Вальтера Боро[править | править вики-текст]

Если для пары дружественных чисел вида A=au и B=as числа s и p=u+s+1 являются простыми, причём a не делится на p, то при всех тех натуральных n, при которых оба числа q_1=(u+1)p^{n+1}-1 и q_2=(u+1)(s+1)p^n-1 просты, числа B_1=A p^n q_1 и B_2=ap^nq_2 — дружественные.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Jan Munch Pedersen Known Amicable Pairs

Ссылки[править | править вики-текст]