Приятельские числа

Не следует путать с Дружественные числа.

Приятельские числа — два или более натуральных числа с одинаковым индексом избыточности, отношением суммы делителей чисел и самого числа. Два числа с одинаковой избыточностью образуют приятельскую пару, n чисел с одинаковой избыточностью образуют приятельский n-кортеж.

Быть приятелями является отношением эквивалентности, а потому порождает разбиение положительных натуральных чисел на клубы (классы эквивалентности) попарно приятельских чисел.

Число, не входящее в какую-либо приятельскую пару, называется отшельником.

Индекс избыточности числа n — это рациональное число $\sigma (n)/n$, в котором $\sigma$ означает сумму делителей. Число n является приятельским, если существует $m\neq n$ такое, что $\sigma (m)/m=\sigma (n)/n$. Заметим, что избыточность, это не то же самое, что избыток, который определяется как $\sigma (n)-2n$.

Избыточность может быть также выражена как $\sigma _{-\!1}(n)$, где $\sigma _{k}$ означает функцию делителя с $\sigma _{k}(n)$, равным сумме k-ых степеней делителей n.

Числа от 1 до 5 являются отшельниками. Наименьшее приятельское число — это 6, образующее пару с числом 28 с индексом избыточности $\sigma (6)/6=(1+2+3+6)/6=2$, что равно $\sigma (28)/28=(1+2+4+7+14+28)/28=2$. Общее значение 2 в этом случае целое, что неверно во многих других случаях. Числа с индексом избыточности 2 известны также как совершенные числа. Имеется ряд нерешённых задач, связанных с приятельскими числами.

Вопреки схожести названий, нет прямой связи приятельских чисел и дружественных чисел или компанейских чисел, хотя определения этих чисел тоже используют функцию делителей.

Примеры

В таблице голубые числа доказанно являются приятельскими (последовательность A074902 в OEIS), красные числа доказанно являются отшельниками (последовательность A095739 в OEIS), числа n, взаимно простые с $\sigma (n)$ (последовательность A014567 в OEIS), здесь не отмечены цветом, хотя они заведомо являются отшельниками. Остальные числа имеют неизвестный статус и выделены жёлтым фоном.

n	$\sigma (n)$	${\frac {\sigma (n)}{n}}$		n	$\sigma (n)$	${\frac {\sigma (n)}{n}}$		n	$\sigma (n)$	${\frac {\sigma (n)}{n}}$		n	$\sigma (n)$	${\frac {\sigma (n)}{n}}$
1	1	1		37	38	38/37		73	74	74/73		109	110	110/109
2	3	3/2		38	60	30/19		74	114	57/37		110	216	108/55
3	4	4/3		39	56	56/39		75	124	124/75		111	152	152/111
4	7	7/4		40	90	9/4		76	140	35/19		112	248	31/14
5	6	6/5		41	42	42/41		77	96	96/77		113	114	114/113
6	12	2		42	96	16/7		78	168	28/13		114	240	40/19
7	8	8/7		43	44	44/43		79	80	80/79		115	144	144/115
8	15	15/8		44	84	21/11		80	186	93/40		116	210	105/58
9	13	13/9		45	78	26/15		81	121	121/81		117	182	14/9
10	18	9/5		46	72	36/23		82	126	63/41		118	180	90/59
11	12	12/11		47	48	48/47		83	84	84/83		119	144	144/119
12	28	7/3		48	124	31/12		84	224	8/3		120	360	3
13	14	14/13		49	57	57/49		85	108	108/85		121	133	133/121
14	24	12/7		50	93	93/50		86	132	66/43		122	186	93/61
15	24	8/5		51	72	24/17		87	120	40/29		123	168	56/41
16	31	31/16		52	98	49/26		88	180	45/22		124	224	56/31
17	18	18/17		53	54	54/53		89	90	90/89		125	156	156/125
18	39	13/6		54	120	20/9		90	234	13/5		126	312	52/21
19	20	20/19		55	72	72/55		91	112	16/13		127	128	128/127
20	42	21/10		56	120	15/7		92	168	42/23		128	255	255/128
21	32	32/21		57	80	80/57		93	128	128/93		129	176	176/129
22	36	18/11		58	90	45/29		94	144	72/47		130	252	126/65
23	24	24/23		59	60	60/59		95	120	24/19		131	132	132/131
24	60	5/2		60	168	14/5		96	252	21/8		132	336	28/11
25	31	31/25		61	62	62/61		97	98	98/97		133	160	160/133
26	42	21/13		62	96	48/31		98	171	171/98		134	204	102/67
27	40	40/27		63	104	104/63		99	156	52/33		135	240	16/9
28	56	2		64	127	127/64		100	217	217/100		136	270	135/68
29	30	30/29		65	84	84/65		101	102	102/101		137	138	138/137
30	72	12/5		66	144	24/11		102	216	36/17		138	288	48/23
31	32	32/31		67	68	68/67		103	104	104/103		139	140	140/139
32	63	63/32		68	126	63/34		104	210	105/52		140	336	12/5
33	48	16/11		69	96	32/23		105	192	64/35		141	192	64/47
34	54	27/17		70	144	72/35		106	162	81/53		142	216	108/71
35	48	48/35		71	72	72/71		107	108	108/107		143	168	168/143
36	91	91/36		72	195	65/24		108	280	70/27		144	403	403/144

Другой пример — 30 и 140 образуют приятельскую пару, поскольку 30 и 140 имеют одинаковый индекс избыточности:

${\tfrac {\sigma (30)}{30}}={\tfrac {1+2+3+5+6+10+15+30}{30}}={\tfrac {72}{30}}={\tfrac {12}{5}}$

${\tfrac {\sigma (140)}{140}}={\tfrac {1+2+4+5+7+10+14+20+28+35+70+140}{140}}={\tfrac {336}{140}}={\tfrac {12}{5}}.$

Числа 2480, 6200 и 40640 являются членами клуба, так как все три числа имеют индекс избыточности 12/5.

Как пример нечётных приятельских чисел, рассмотрим 135 и 819 (индекс избыточности 16/9). Есть также случаи чётных чисел, приятельских с нечётными, например, 42 и 544635 (индекс 16/7).

Полный квадрат может быть приятельским числом, например, 693479556 (квадрат числа 26334) и число 8640 имеют индекс избыточности 127/36 (этот пример принадлежит Дину Хикерсону).

Числа-отшельники

Числа, принадлежащие клубу из одного элемента, поскольку нет других чисел, приятельских с ними, являются отшельниками. Все простые числа являются отшельниками. Более обще, если числа n и $\sigma (n)$ взаимно просты, то есть наибольший общий делитель этих чисел равен 1, а следовательно, $\sigma (n)/n$ является неприводимой дробью, то число n является отшельником (последовательность A014567 в OEIS). Для простого числа p мы имеем $\sigma (p)=p+1$, и это число взаимно просто с p.

Неизвестно никакого метода общего вида, определяющего, является число отшельником или приятельским числом. Наименьшее число, классификация которого неизвестна (на 2009) — число 10. Есть предположение, что оно является отшельником, если это не так, его наименьший друг является довольно большим числом, как у числа 24 — хотя число 24 приятельское, его наименьшим другом является число 91.963.648. Для числа 10 нет приятельского числа, меньшего 2.000.000.000.

Большие клубы

Открытой проблемой является вопрос, существуют ли бесконечно большие клубы или взаимно приятельские числа. Совершенные числа образуют клуб и есть предположение, что существует бесконечно много совершенных чисел (по меньшей мере столько же, сколько чисел Мерсенна), но доказательств нет. К 2018 году известно 50 совершенных чисел и наибольшее из известных чисел имеет более 46 миллионов цифр в десятичной записи. Существуют клубы с более известными членами, в частности клубы, образованные мультисовершенными числами, то есть числами, индекс избыточности которых является целым числом. К началу 2013 года клуб приятельских чисел с индексом 9 насчитывал 2094 членов. Хотя известно, что клубы мультисовершенных чисел довольно большие (за исключением самих совершенных чисел), есть предположение, что эти клубы конечны.