Глоссарий теории групп

Группа (математика)

Теория групп

Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторгруппа (полу-)Прямое произведение Топологические группы Группа Ли Ортогональная группа O(n) Специальная унитарная группа SU(n) G2 F4 E6 E7 E8 Группа Лоренца Группа Пуанкаре

См. также: Портал:Физика

В этой статье приведены основные термины, используемые в теории групп. Курсив обозначает внутреннюю ссылку на данный глоссарий. В конце приводится таблица основных обозначений^[⇨], применяемых в теории групп.

# А Б В Г Д Е Ё Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Э Ю Я

P

$p$-группа

Группа, все элементы в которой имеют порядок, равный некоторой степени простого числа $p$ (не обязательно одинаковой у всех элементов). Также говорят о примарной группе (см. конечная $p$-группа).

А

Абелева группа

То же, что и коммутативная группа.

Абелеанизация

Факторгруппа по коммутанту, то есть, для группы $G$ ― $G/[G, G]$.

Аддитивная группа кольца

Группа, элементами которой являются все элементы данного кольца, а операция совпадает с операцией сложения в кольце.

Антигомоморфизм групп

Отображение групп $f : (G,*) \to H,\times)$ такое, что $f(a * b) = f(b) \times f(a)$ для произвольных $a$ и $b$ в $G$ (сравните с гомоморфизмом).

Абсолютно регулярная $p$-группа

Конечная $p$-группа, в которой $|G\,:\,pG| < p^p$, где $pG$ — подгруппа $G$, образованная $p$-ми степенями её элементов.

Г

Генетический код группы

То же, что задание группы.

Главный ряд подгрупп

Ряд подгрупп, в котором $G_{i}$ — максимальная нормальная в $G$ подгруппа из $G_{i+1}$, для всех членов ряда.

Голоморф

Для заданной группы $(G, *)$ — группа над парами $\{(g,\varphi) \mid g \in G, \varphi \in \mathrm{Aut}G \}$ ($\mathrm{Aut}G$ — группа автоморфизмов группы $G$) с групповой операцией композиции $\odot$, определённой как $(g_1, \varphi_1) \odot (g_2, \varphi_2) = (g_1 * \varphi_1^{-1}(g_2), \varphi_1 \circ \varphi_2)$.

Гомоморфизм групп

Отображение групп $f : (G,*) \to (H,\times)$ такое, что $f(a * b) = f(a) \times f(b)$ для произвольных a и b в G.

Группа

Непустое множество $G$ с заданной на нём ассоциативной бинарной операцией $*: G \times G \to G$, при которой в $G$ имеется нейтральный элемент $e$, то есть для всех $a \in G$ выполнено $e*a=a*e=a$, и для каждого элемента $a \in G$ есть обратный элемент $a^{-1}$, такой, что $a*a^{-1}=a^{-1}*a=e$.

Группа Шмидта

Ненильпотентная группа, все собственные подгруппы которой нильпотентны.

Группа Миллера — Морено

Неабелева группа, все собственные подгруппы которой абелевы.

Групповая алгебра

Для группы $G$ над полем $K$ — это векторное пространство над $K$, образующими которого являются элементы $G$, а умножение образующих соответствует умножению элементов $G$.

Д

Действие группы

Группа $G$ действует слева на множестве $M$, если задан гомоморфизм $\Phi\colon G\to S(M)$, где $S(M)$ — симметрическая группа. Группа $G$ действует справа на множестве $M$, если задан гомоморфизм $\rho: G^{op} \to S(M)$, где $G^{op}$ — инверсная группа группы $G$.

Длина ряда подгрупп

Число $n$ в определении ряда подгрупп.

Е

Естественный гомоморфизм

Гомоморфизм группы $G$ на факторгруппу $G/H$ по нормальной подгруппе $H$, ставящий в соответствие каждому элементу $a$ группы смежный класс $aH$. Ядром этого гомоморфизма является подгруппа $H$.

З

Задание группы

Определение группы указанием порождающего множества $S$ и множества соотношений между порождающими $R$, обозначается $\langle S \mid R\rangle$. Также называется генетический код группы, представление группы (создавая неоднозначность с линейным представлением группы), копредставление группы.

И

Изоморфизм групп

Биективный гомоморфизм.

Изоморфные группы

Группы, между которыми существует хотя бы один изоморфизм.

Инвариантная подгруппа

То же, что и нормальная подгруппа.

Инверсная группа

Группа, получаемая сменой местами аргументов бинарной операции, то есть для $G$ с операцией $\times$ — группа $G^{op}$ с операцией $*$ такой, что $a * b = b\times a$ для всех элементов $G$.

Индекс подгруппы

Число смежных классов в каждом (правом или левом) из разложений группы по данной подгруппе.

Индексы ряда подгрупп

Индексы $|G_{i+1}:G_{i}|$ в определении субнормального ряда подгрупп.

К

Класс нильпотентности

Для нильпотентной группы — минимальная из длин центрального ряда подгрупп.

Класс смежности

Для элемента $g \in G$, левый смежный класс по подгруппе $H$ — множество $gH= \{gh|h\in H\}$, правый смежный класс по подгруппе $H$ — множество $Hg= \{hg|h\in H\}$.

Класс сопряжённости

Для элемента $g \in G$ — множество $\{hgh^{-1}|h\in G\}$.

Коммутант

Подгруппа, порождённая всеми коммутаторами группы, обычно обозначается $[G,G]$ или $G'$.

Коммутативная группа

Группа с коммутативной бинарной операцией ($\forall g, h \in G (g*h = h*g)$); также называется абелевой группой.

Коммутирующие элементы

Элементы, для которых коммутатор равен единичному элементу группы, или, что эквивалентно, такие элементы $g, h \in G$, для которых $g*h = h*g$.

Коммутатор

Для элементов $g, h \in G$ — элемент $[g, h]=ghg^{-1}h^{-1}$.

Коммутатор подгрупп

Множество всевозможных произведений $\{[g, h]\mid g\in G, h\in H \}$.

Композиционный ряд

Для группы $G$ — ряд подгрупп, в котором все факторгруппы $G_{i+1}/G_i$ — простые группы.

Конечная группа

Группа с конечным числом элементов.

Конечная $p$-группа

$p$-группа конечного порядка $p^n$.

Конечно заданная группа

Группа, обладающая конечным числом образующих и задаваемая в этих образующих конечным числом соотношений; также называется конечно определённая группа.

Конечнопорождённая абелева группа

Абелева группа, обладающая конечной системой образующих.

Конечнопорождённая группа

Группа, обладающая конечной системой образующих.

Копредставление группы

То же, что задание группы.

Кручение

Подгруппа всех элементов конечного порядка, применяется для коммутативных и нильпотентных групп, обозначается $\operatorname{Tor}G$.

Л

Локальное свойство

Говорят, что группа $G$ обладает некоторым локальным свойством $P$, если любая конечнопорождённая подгруппа из $G$ обладает этим свойством. Примерами могут служить локальная конечность, локальная нильпотентность.

Локальная теорема

Говорят, что для некоторого свойства $P$ групп справедлива некоторая локальная теорема, если всякая группа, локально обладающая этим свойством, сама обладает им. Например: локально абелева группа является абелевой, но локально конечная группа может быть бесконечной.

М

Максимальная подгруппа

Такая подгруппа, что не существует других подгрупп её содержащих (не совпадающих с самой группой).

Метабелева группа

Группа, коммутант которой абелев, ступень разрешимости такой группы равна 2.

Метанильпотентная группа

Полинильпотентная группа со ступенью разрешимости равной 2.

Метациклическая группа

Группа, обладающая циклической нормальной подгруппой, факторгруппа по которой также циклическая. Всякая конечная группа, порядок которой свободен от квадратов (то есть не делится на квадрат какого-либо числа), является метациклической.

Минимальная нормальная подгруппа

Наименьшая (по включению) неединичная (то есть, состоящая не только из единичного элемента) нормальная подгруппа.

Н

Нейтральный элемент

Элемент, задаваемый в определении группы, любое применение которого при бинарной операции оставляет другой аргумент неизменным.

Нильпотентная группа

Группа, обладающая центральным рядом подгрупп. Минимальная из длин таких рядов называется её классом нильпотентности.

Норма группы

Совокупность элементов группы, перестановочных со всеми подгруппами, то есть пересечение нормализаторов всех её подгрупп.

Нормализатор

Для подгруппы $H$ в $G$ — это максимальная подгруппа $G$, в которой $H$ нормальна. Иначе говоря, нормализатор есть стабилизатор $H$ при действии $G$ на множестве своих подгрупп сопряжениями, то есть $N(H)=\{g\in G\mid gHg^{-1}=H\}$.

Нормальная подгруппа

$H$ есть нормальная подгруппа $G$, если для любого элемента $g \in G$ выполнено $gH = Hg$, то есть правые и левые классы смежности $H$ в $G$ совпадают. Иначе говоря, если $\forall g \in G\quad \forall h \in H\quad ghg^{-1} \in H$. Также называется инвариантная подгруппа, нормальный делитель.

Нормальный делитель

То же, что и нормальная подгруппа.

Нормальный ряд подгрупп

Ряд подгрупп, в котором $G_{i}$ нормальна в $G$, для всех членов ряда.

О

Орбита

Для элемента $m$ множества $M$, на который группа $G$ действует слева — множество всех действий над элементом: $Gm = \{gm \mid g\in G\}$.

П

Перестановочные элементы

Пара элементов $a,b\in G$ такие что $ab=ba$.

Период группы

Наименьшее общее кратное порядков элементов данной группы.

Периодическая группа

Группа, каждый элемент которой имеет конечный порядок.

Подгруппа

Подмножество $H$ группы $G$, которое является группой относительно операции, определённой в $G$.

Подгруппа кручения

То же, что и кручение.

Подгруппа, порождённая множеством

Для произвольного подмножества $S \subset G$, $\langle S \rangle$ обозначает наименьшую подгруппу $G$, содержащую $S$.

Подгруппа Томпсона (англ.)

Подгруппа, порождённая всеми абелевыми подгруппами; обозначается $J(G)$.

Подгруппа Фиттинга (англ.)

Подгруппа, порождённая всеми нильпотентными нормальными подгруппами; обозначается $F(G)$.

Подгруппа Фраттини (англ.)

Пересечение всех максимальных подгрупп, если таковые существуют, либо сама группа $G$ в противном случае; обозначается $\Phi(G)$.

Полинильпотентная группа

Группа обладающая конечным нормальным рядом, факторы которого нильпотентны.

Полупрямое произведение

Для групп $G$ и $H$ над гомоморфизмом $\phi: G \rightarrow \mbox{Aut}(H)$ (обозначается по-разному, в том числе $G \rtimes_\phi H$) — множество $G \times H$, наделённое операцией $*$, для которой $(g_1, h_1) * (g_2, h_2) = (g_1\phi(h_1)(g_2), h_1h_2)$ для любых $g_1,g_2 \in G$, $h_1,h_2 \in H$.

Порождающее множество группы

Такое подмножество группы, что каждый элемент группы может быть записан как произведение конечного числа элементов множества и их обратных.

Порядок группы

То же, что и мощность множества группы (число элементов группы).

Порядок элемента

Для элемента $g \in G$ — минимальное натуральное число $m$ такое, что $g^m = e$. В случае, если такого $m$ не существует, считается, что $g$ имеет бесконечный порядок.

Почти-$\mathcal E$-группа

Для теоретико-группового свойства $\mathcal E$ — группа, обладающая подгруппой конечного индекса, обладающей свойством $\mathcal E$; так говорят о почти нильпотентных, почти разрешимых, почти полициклических группах.

Представление группы

1.  Линейное представление группы, гомоморфизм заданной группы в группу невырожденных линейных преобразований векторного пространства.

2.  То же, что и задание группы.

Простая группа

Группа, в которой нет нормальных подгрупп, кроме тривиальной (состоящей только из единичного элемента) и всей группы.

Примарная группа

Группа, все элементы в которой имеют порядок, равный некоторой степени простого числа $p$ (не обязательно одинаковой у всех элементов). Также говорят о конечной $p$-группе.

Прямое произведение

Для групп $(G,\cdot)$ и $(H, *)$ — множество пар $G \times H$, наделённое операцией покомпонентного умножения: $(g_1, h_1) \times (g_2, h_2) = (g_1 \cdot g_2, h_1 * h_2)$.

Р

Расширение группы

Группа, содержащая данную группу в качестве нормальной подгруппы.

Разрешимая группа

Группа, обладающая нормальным рядом подгрупп с абелевыми факторами. Наименьшая из длин таких рядов называется её ступенью разрешимости.

Разрешимый радикал

Подгруппа, порождённая всеми разрешимыми нормальными подгруппами, обозначается $S(G)$.

Ряд подгрупп

Конечная последовательность подгрупп $G_0, G_1, ..., G_n$ такая, что $G_i \leq G_{i+1}$, для всех $i\in\left\{0,...,n-1\right\},~G_0=1,~G_n=G$. Такой ряд записывают в виде $1=G_0\leq G_1\leq \dots \leq G_n=G$ или в виде $G=G_n\geq G_{n-1}\geq \dots \geq G_0=1$.

Регулярная $p$-группа

Конечная $p$-группа, для любой пары элементов $a$ и $b$ которой найдётся элемент $u$ коммутанта подгруппы, порожденной этими элементами, такой, что $(ab)^p = a^pb^pu^p$.

С

Сверхразрешимая группа

Группа, обладающая нормальным рядом подгрупп с циклическими факторами.

Свободная группа

Группа, заданная некоторым множеством и при этом не имеющая никаких соотношений, кроме соотношений, определяющих группу. Все свободные группы, порождённые равномощными множествами, изоморфны.

Свободное произведение

Группа, заданная элементами данных групп без дополнительных соотношений между элементами, кроме соотношений, определяющих каждую из данных групп.

Силовская подгруппа

$p$-подгруппа в $G$, имеющая порядок $p^n$, где $|G| = p^ns$ и наибольший общий делитель чисел $p$ и $s$ равен 1.

Симметрическая группа

Группа всех биекций заданного конечного множества (то есть, всех перестановок) относительно операции композиции.

Соотношение

Тождество, которому удовлетворяют образующие группы (при задании группы образующими и соотношениями).

Стабилизатор

Для элемента $p$ множества $M$, на котором действует группа $G$ — подгруппа $\mathrm{St}_G(p) \subset G$, все элементы которой оставляют $p$ на месте: $g\cdot p = p$.

Ступень разрешимости

Наименьшая из длин нормальных рядов подгрупп с абелевыми факторами для данной группы.

Субнормальный ряд подгрупп

Ряд подгрупп, в котором подгруппа $G_{i}$ нормальна в подгруппе $G_{i+1}$, для всех членов ряда.

Ф

Факторгруппа

Для группы $G$ и её нормальной подгруппы $H$ — множество классов смежности подгруппы $H$ с умножением, определяемым следующим образом: $(aH)*(bH)=(ab)H$.

Факторы субнормального ряда

Факторгруппы $G_{i+1}/G_{i}$ в определении субнормального ряда подгрупп.

Х

Характеристическая подгруппа

Подгруппа, инвариантная относительно всех автоморфизмов группы.

Холлова подгруппа

Подгруппа, порядок которой взаимно прост с её индексом во всей группе.

Ц

Центр группы

Максимальная группа элементов, коммутирующих с каждым элементом группы: $\mathrm Z_G(G) = \{g \in G \mid \forall {h \in G}\, (gh = hg) \}$. Своеобразная «мера абелевости»: группа абелева тогда и только тогда, когда её центр совпадает со всей группой.

Централизатор

Максимальная подгруппа, каждый элемент которой коммутирует с заданным элементом: $\mathrm Z_G(h) = \{g \in G \mid gh = hg \}$.

Центральный ряд подгрупп

нормальный ряд подгрупп, в котором $G_{i+1}/G_{i}\subseteq Z(G/G_{i})$, для всех членов ряда.

Циклическая группа

Группа, состоящая из порождающего элемента и всех его целых степеней. Конечна в случае, если порядок порождающего элемента конечен.

Э

Экспонента

Числовая характеристика конечной группы, равная наименьшему общему кратному порядков всех элементов группы, обозначается $\exp(G)$.

Элементарная группа

Группа, являющаяся конечной или абелевой, либо получаемая из конечных и абелевых групп последовательностью операций взятия подгрупп, эпиморфных образов, прямых пределов и расширений.

Эпиморфизм групп

Эпиморфизмом называется гомоморфизм $f : G \to H$, если отображение f сюръективно.

Я

Ядро гомоморфизма

Прообраз нейтрального элемента при гомоморфизме. Ядро всегда есть нормальная подгруппа, а любая нормальная подгруппа есть ядро некоторого гомоморфизма.

Таблица обозначений

В данном разделе приводятся некоторые обозначения, используемые в публикациях по теории групп. Для некоторых обозначений указываются также соответствующие понятия в некоторых других разделах общей алгебры (теории колец, полей). Кроме указанных символов, иногда используются их зеркальные отражения, например, $H \triangleleft G$ обозначает то же, что и $G \triangleright H$.

Символ (ΤΕΧ)	Символ (Unicode)	Название	Значение
		Произношение
Символы теории групп
$\triangleleft\,$	◅	Нормальная подгруппа, идеал кольца	$H \triangleleft G\,$ означает «$H$ является нормальной подгруппой группы $G$», если $G$ — группа, и «$H$ является (двусторонним) идеалом кольца $G$», если $G$ — кольцо.
		«нормальна в», «… является идеалом …»
$[\, :\, ]\,$	[ : ]	Индекс подгруппы, размерность поля	$[G:H]\,$ означает «индекс подгруппы $H$ в группе $G$», если $G$ — группа, и «размерность поля $H$ над полем $G$», если $G$ и $H$ — поля.
		«индекс … в …», «размерность … над …»
$\times\,$	×	Прямое произведение групп	$G \times H\,$ означает «прямое произведение групп $G$ и $H$».
		«прямое произведение … и …»
$\oplus\,$	⊕	Прямая сумма подпространств	$V = V_1 \oplus V_2\,$ означает «пространство $V$ разлагается в прямую сумму подпространств $V_1$ и $V_2$».
		«прямая сумма … и …»
$\otimes\,$	⊗	Тензорное произведение	$T_1 \otimes T_2\,$ означает «тензорное произведение тензоров $T_1$ и $T_2$».
		«тензорное произведение … и …»
$[\, ,\, ]\,$	[ , ]	Коммутатор элементов группы	$[g,\,h]\,$ означает «коммутатор элементов $g$ и $h$ группы $G$», то есть элемент $ghg^{-1}h^{-1}$.
		«коммутатор … и …»
$G^\prime$	G'	Коммутант	$G^\prime$ означает «коммутант группы $G$».
		«коммутант …»
$<\,>_n\,$	< >n	Циклическая группа	${<}a{>}_n\,$ означает «циклическая группа порядка $n$, порождённая элементом $a$».
		«Циклическая группа порядка $n$, порождённая $a$»
$A^T\,$	AT	Транспонированная матрица	$A^T\,$ означает «транспонированная матрица $A$».
		«транспонированная матрица …»
$E_{i,\,j}\,$	Ei, j	Матричная единица	$E_{i,\,j}\,$ означает «матричная $i,\;j$-единица», то есть матрица, у которой на месте $(i,\;i)$ стоит единица, а на остальных местах — нули.
		«матричная единица …»
$*\,$	*	Сопряжённый оператор Сопряжённое пространство Мультипликативная группа поля	$\mathcal{A}^{*}\,$ означает «линейный оператор, сопряжённый к $\mathcal A$», если $\mathcal A$ — линейный оператор. $V^{*}\,$ означает «линейное пространство, сопряжённое к $V$ (дуальное к $V$)», если $V$ — линейное пространство. $F^{*}\,$ означает «мультипликативная группа поля $F$», если $F$ — поле.
		«оператор, сопряжённый к …»; «пространство, сопряжённое к …»; «мультипликативная группа …»
Стандартные обозначения некоторых групп
$S_n\,$	Sn	Симметрическая группа $n$-ой степени	$S_n\,$ означает «симметрическая группа (или группа перестановок) степени $n$».
		«эс …»
$A_n\,$	An	Знакопеременная группа $n$-ой степени	$A_n\,$ означает «знакопеременная группа (то есть группа чётных подстановок) степени $n$».
		«а …»
$GL_n (F)\,$	GLn(F)	Группа невырожденных линейных операторов	$GL_n (F)\,$ означает «группа невырожденных линейных операторов размерности $n$ над полем $F$» (от general linear).
		«же эль … над …»
$SL_n (F)\,$	SLn(F)	Группа линейных операторов c определителем 1	$SL_n (F)\,$ означает «группа линейных операторов размерности $n$ над полем $F$ с определителем 1» (от special linear).
		«эс эль … над …»
$UT_n (F)\,$	UTn(F)	Группа верхних треугольных матриц	$UT_n (F)\,$ означает «группа верхних треугольных матриц порядка $n$ над полем $F$» (от upper triangular).
		«группа верхних треугольных матриц порядка … над …»
$SUT_n (F)\,$	SUTn(F)	Группа верхних унитреугольных матриц	$SUT_n (F)\,$ означает «группа верхних унитреугольных матриц порядка $n$ над полем $F$» (от special upper triangular), то есть верхних треугольных матриц с единицами на главной диагонали.
		«группа верхних унитреугольных матриц порядка … над …»
$D_n\,$	Dn	Группа диэдра $n$-ой степени	$D_n\,$ означает «группа диэдра $n$-ой степени» (то есть группа симметрий правильного $n$-угольника).
		«дэ …»
$V_4\,$	V4	Четверная группа Клейна	$V_4\,$ означает «четверная группа Клейна».
		«вэ четыре»

Литература

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7
• Мельников О. В.; Ремесленников В. Н.; Романьков В. А.; Скорняков Л. А.; Шестаков И. П. Группы // Общая алгебра / Скорняков Л. А.. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 66—290. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6