Разрешимая группа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В алгебре группа называется разрешимой, если её ряд коммутантов заканчивается на тривиальной группе.

Термин «разрешимая группа» возник в теории Галуа в связи с вопросом о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах. А именно, алгебраическое уравнение разрешимо в радикалах тогда и только тогда, когда его группа Галуа разрешима.

Эквивалентные определения[править | править вики-текст]

Разрешимая группа — это группа G, такая что убывающий ряд

G\triangleright G^{(1)}\triangleright G^{(2)} \triangleright \cdots,

в котором каждая следующая группа является коммутантом предыдущей, рано или поздно приводит к тривиальной подгруппе.

Можно доказать, что если H — нормальная подгруппа в G, H разрешима и факторгруппа G/H разрешима, то G разрешима. Следовательно, следующее определение эквивалентно первому:

Разрешимая группа — это группа, для которой существует хотя бы один субнормальный ряд, в котором факторгруппы абелевы. Это значит, что существует цепочка подгрупп \{1\}=G_0\leq G_1\leq\cdots\leq G_k=G, такая что  G_{j-1} является нормальной подгруппой G_j и G_j/G_{j-1} — абелева группа.

Для конечных групп это в свою очередь эквивалентно существованию субнормального ряда, в котором все промежуточные факторы циклические конечного порядка. Действительно, конечная абелева группа изоморфна произведению циклических, следовательно, у неё существует субнормальный ряд с циклическими факторами. Однако для бесконечной группы это не всегда верно: например, группа \mathbb Z разрешима, но всякая её ненулевая подгруппа изоморфна самой \mathbb Z.

Свойства[править | править вики-текст]

Примеры[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Rotman (1995), page 102
  • Rotman, Joseph J. (1995). An introduction to the theory of groups. Graduate texts in mathematics 148 (4 ed.). Springer. — ISBN 978-0-387-94285-8.
  • Мальцев А. И. Обобщенно нильпотентные алгебры и их присоединенные группы. // Мат. сб. — 1949. — T. 25, № 3. — c. 347—366.

Ссылки[править | править вики-текст]