Разрешимая группа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

В алгебре группа называется разрешимой, если в ней существует цепочка вложенных коммутантов, последний из которых состоит из нейтрального элемента.

Цепочка коммутантов G⁽ⁱ⁾ определяется так: G⁽⁰⁾ — это сама группа G, а G⁽ⁱ⁾ = G^(i-1)', т.е. это коммутант предыдущего элемента цепочки. Переформулируем теперь определение разрешимости: группа G разрешима, если .

[править] Свойства

• Если H — нормальная подгруппа в G, H разрешима и факторгруппа G / H разрешима, то G разрешима. В частности,
  • Если две группы разрешимы, то их прямое произведение (и даже полупрямое произведение) разрешимо.
• Всякая подгруппа и факторгруппа разрешимой группы разрешима.
• Если порядок конечной группы делится только на два простых числа, то такая группа разрешима.

[править] Примеры

• Группа невырожденных верхних треугольных матриц UT_n разрешима.
• Свободная группа ранга больше единицы не является разрешимой.
• Симметрическая группа S_n является разрешимой тогда и только тогда, когда .

[править] История

Термин «Разрешимая группа» возник в теории Галуа и связан с разрешимостью алгебраических уравнений в радикалах.