Разрешимая группа

В алгебре группа называется разрешимой, если в ней существует цепочка вложенных коммутантов, последний из которых состоит из нейтрального элемента.

Цепочка коммутантов $G^{(i)} \supset G^{(i+1)},$ $i\ge 0,$ определяется так: $G^{(0)}\,$ — это сама группа $G,\,$ а $G^{(i)}={G^{(i-1)}}^{\prime}$, то есть это коммутант предыдущего элемента цепочки. Переформулируем теперь определение разрешимости: группа $G\,$ разрешима, если $\exists m \in \mathbb{N} : G^{(m)} = \{ e \}$.

Свойства

• Если $H$ — нормальная подгруппа в $G$, $H$ разрешима и факторгруппа $G/H$ разрешима, то $G$ разрешима. В частности,
  • Если две группы разрешимы, то их прямое произведение (и даже полупрямое произведение) разрешимо.
• Всякая подгруппа и факторгруппа разрешимой группы разрешима.

Примеры

• Группа невырожденных верхних треугольных матриц UT_n разрешима.
• Свободная группа ранга больше единицы не является разрешимой.
• Симметрическая группа $S_n$ является разрешимой тогда и только тогда, когда $n\le 4$.
• Конечная группа порядка $p^aq^b$, где $p$ и $q$ — простые числа (Теорема Бёрнсайда) разрешима.

История

Термин «Разрешимая группа» возник в теории Галуа и связан с разрешимостью алгебраических уравнений в радикалах.