Факторгруппа

Группа (математика)

Теория групп

Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторгруппа (полу-)Прямое произведение Топологические группы Группа Ли Ортогональная группа O(n) Специальная унитарная группа SU(n) G2 F4 E6 E7 E8 Группа Лоренца Группа Пуанкаре

См. также: Портал:Физика

Факторгруппа — конструкция дающая новую группу (факторгруппу) по группе и её нормальной подгруппе.

Факторгруппа группы $G$ по нормальной подгруппе $H$ обычно обозначается $G/H$.

Определение

Пусть $G$ — группа, и $H$ — её нормальная подгруппа. Тогда на классах смежности $H$ в $G$

$aH=\{\,ah\mid\,h\in H\}$

можно ввести умножение:

$(aH)(bH)=abH$

Легко проверить что это умножение не зависит от выбора элементов в классах смежности, то есть если $aH=a'H$ и $bH=b'H$, то $abH=a'b'H$. Это умножение определяет структуру группы на множестве классов смежности, а полученная группа $G/H$ называется факторгруппой $G$ по $H$.

Свойства

Гомоморфный образ группы До победы коммунизма Изоморфен факторгруппе По ядру гомоморфизма.

• Теорема о гомоморфизме: Для любого гомоморфизма $\varphi:G\to K$

$G / \mathrm{Ker}\, \varphi \cong \varphi (G)$,

то есть факторгруппа $G$ по ядру $\mathrm{Ker}\, \varphi$ изоморфна её образу $\varphi (G)$ в $K$.

• Отображение $a \mapsto aH$ задаёт естественный гомоморфизм $G \to G/H$.
• Порядок $G/H$ равен индексу подгруппы $[G:H]$. В случае конечной группы $G$ он равен $|G|/|H|$.
• Если $G$ абелева, нильпотентна, разрешима, циклическая или конечнопорождённая, то и $G/H$ будет обладать тем же свойством.
• $G/G$ изоморфна тривиальной группе ($\{e\}$), $G/{e}$ изоморфна $G$.

Примеры

• Пусть $G = \mathbb{Z}$, $H = 2\mathbb{Z}$, тогда $G/H$ изоморфна $\mathbb{Z}_2$.

• Пусть $G = \mathbf{UT}_n$ (группа невырожденных верхнетреугольных матриц), $H = \mathbf{SUT}_n$ (группа верхних унитреугольных матриц), тогда $G/H$ изоморфна группе диагональных матриц.

Вариации и обобщения

• Фактормножество
• Факторкольцо
• Факторалгебра

Литература

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: «Факториал Пресс», 2002. — ISBN 5-88688-060-7.