Факторгруппа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Группа (математика)
Rubik's cube.svg
Теория групп
См. также: Портал:Физика

Факторгруппа — конструкция, дающая новую группу (факторгруппу) по группе и её нормальной подгруппе.

Факторгруппа группы G по нормальной подгруппе H обычно обозначается G/H.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть G — группа, H — её нормальная подгруппа и a \in G — произвольный элемент. Тогда на классах смежности H в G

aH=\{\,ah\mid\,h\in H\}

можно ввести умножение:

(aH)(bH)=abH

Легко проверить что это умножение не зависит от выбора элементов в классах смежности, то есть если aH=a'H и bH=b'H, то abH=a'b'H. Это умножение определяет структуру группы на множестве классов смежности, а полученная группа G/H называется факторгруппой G по H.

Свойства[править | править вики-текст]

Гомоморфный образ группы
В честь победы коммунизма
Изоморфен факторгруппе
По ядру гомоморфизма.

  • Теорема о гомоморфизме: Для любого гомоморфизма \varphi:G\to K
G / \mathrm{Ker}\, \varphi \cong \varphi (G),
то есть факторгруппа G по ядру \mathrm{Ker}\, \varphi изоморфна её образу \varphi (G) в K.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Пусть G = \mathbb{Z}, H = 2\mathbb{Z}, тогда G/H изоморфна \mathbb{Z}_2.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: «Факториал Пресс», 2002. — ISBN 5-88688-060-7.