Целые числа Эйзенштейна

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Целые Эйзенштейна как точки треугольной решетки на комплексной плоскости

В математике целыми числами Эйзенштейна (названы в честь Фердинанда Эйзенштейна), известные также [1] под именем числа Эйлера (в честь Леонарда Эйлера), называются комплексные числа вида

z = a + b\omega \,\!

где a и b - целые и

\omega = \frac{1}{2}(-1 + i\sqrt 3) = e^{2\pi i/3}

кубические корни из единицы (не вещественные). Целые Эйзенштейна формируют треугольную решетку на ко́мпле́ксной плоскости, в отличие от целых Гаусса, которые формируют квадратную решетку на ко́мпле́ксной плоскости.

Свойства[править | править вики-текст]

Целые Эйзенштейна формируют коммутативное кольцо алгебраических чисел в поле алгебраических чисел Q(ω) — круговое поле третей степени. Чтобы понять, почему целые Эйзенштейна являются целыми алгебраическими числами, что любое z = a + bω есть корень нормированного многочлена.

z^2 - (2a - b)z + (a^2 - ab + b^2). \,\!

В частности, ω удовлетворяет уравнению

\omega^2 + \omega + 1 = 0. \,\!

Произведение двух чисел Эйзенштейна a+b\omega и c+d\omega дает

(a+b\omega) \cdot (c+d\omega)=(ac-bd)+(bc+ad-bd)\omega. \,\!

Норма целого числа Эйзенштейна есть корень абсолютной величины

|a+b\omega|^2 = a^2 - ab + b^2. \,\!

Таким образом, норма целого числа Эйзенштейна всегда является натуральным целым. Поскольку

4a^2-4ab+4b^2=(2a-b)^2+3b^2,  \,\!,

Норма целого числа Эйзенштейна всегда положительна.

Группа единиц кольца чисел Эйзенштейна является циклической группой, сформированной шестью корнями из единицы на комплексной плоскости. А именно

{±1, ±ω, ±ω2}

А это, как раз, целые числа Эйзенштейна единичной нормы.

Простые числа Эйзенштейна[править | править вики-текст]

Если x и y – целые числа Эйзенштейна, мы говорим, что x делит y если существует некоторое целое число Эйзенштейна z, такое, что y = z x.

Это расширяет понятие делимости натуральных целых чисел. Мы также можем расширить понятие простого числа; Говорят, что отличное от единицы целое число Эйзенштейна x является простым числом Эйзенштейна, если все его делители имеют вид ux, где u – любая из шести единиц.

Можно показать, что натуральные простые числа, сравнимые с 1 по модулю 3, а также число 3, можно представить в виде x2xy + y2 (x, y – целые) и, поэтому, могут быть разложены (x + ωy)(x + ω2y), а следовательно, не являются простыми числами Эйзенштейна. Натуральные простые числа, сравнимые с 2 по основанию 3, не могут быть представлены тем же образом, так что они являются также и простыми числами Эйзенштейна.

Каждое целое число Эйзенштейна a + bω, норма которого a2ab + b2 - натуральное простое, являются простыми Эйзенштейна.

Евклидово кольцо[править | править вики-текст]

Кольцо чисел Эйзенштейна образуют евклидово кольцо, в котором норма N задается формой

N(a + b\,\omega) = a^2 - a b + b^2.  \,\!

Это может быть выведено следующим образом:

\begin{align}N(a+b\,\omega)
&=|a+b\,\omega|^2\\
&=(a+b\,\omega)(a+b\,\bar\omega)\\
&=a^2 + ab(\omega+\bar\omega) + b^2\\
&=a^2 - ab + b^2\end{align}

Фактор-группа C по целым Эйзенштейна[править | править вики-текст]

Фактор-группа комплексной плоскости C по решётке, содержащей все целые числа Эйзенштейна, является комплексным тором действительной размерности 2, который выделяется наибольшей группой симметрий среди всех комплексных торов действительной размерности 2.

Смотрите также[править | править вики-текст]

Замечания[править | править вики-текст]

  1. Surányi László Algebra. — TYPOTEX, 1997. — P. 73. и Szalay Mihály Számelmélet. — Tankönyvkiadó, 1991. — P. 75. обе называют эти числа “Euler-egészek”, то есть, числами Эйлера.

External links[править | править вики-текст]