Целые числа Эйзенштейна

Целые Эйзенштейна как точки треугольной решетки на комплексной плоскости

В математике целыми числами Эйзенштейна (названы в честь Фердинанда Эйзенштейна), известные также под именем числа Эйлера (в честь Леонарда Эйлера), называются комплексные числа вида

$z = a + b\omega \,\!$

где a и b - целые и

$\omega = \frac{1}{2}(-1 + i\sqrt 3) = e^{2\pi i/3}$

кубические корни из единицы (не вещественные). Целые Эйзенштейна формируют треугольную решетку на ко́мпле́ксной плоскости, в отличие от целых Гаусса, которые формируют квадратную решетку на ко́мпле́ксной плоскости.

Свойства

Целые Эйзенштейна формируют коммутативное кольцо Алгебраических чисел в поле алгебраических чисел Q(ω) — круговое поле третей степени. Чтобы понять, почему целые Эйзенштейна являются целыми алгебраическими числами, что любое z = a + bω есть корень нормированного многочлена.

$z^2 - (2a - b)z + (a^2 - ab + b^2). \,\!$

В частности, ω удовлетворяет уравнению

$\omega^2 + \omega + 1 = 0. \,\!$

Произведение двух чисел Эйзенштейна $a+b\omega$ и $c+d\omega$ дает

$(a+b\omega) \cdot (c+d\omega)=(ac-bd)+(bc+ad-bd)\omega. \,\!$

Норма целого числа Эйзенштейна есть корень абсолютной величины

$|a+b\omega|^2 = a^2 - ab + b^2. \,\!$

Таким образом, норма целого числа Эйзенштейна всегда является натуральным целым. Поскольку

$4a^2-4ab+4b^2=(2a-b)^2+3b^2, \,\!$,

Норма целого числа Эйзенштейна всегда положительна.

Группа единиц кольца чисел Эйзенштейна является циклической группой, сформированной шестью корнями из единицы на комплексной плоскости. А именно

{±1, ±ω, ±ω²}

А это, как раз, целые числа Эйзенштейна единичной нормы.

Простые числа Эйзенштейна

Если x и y – целые числа Эйзенштейна, мы говорим, что x делит y если существует некоторое целое число Эйзенштейна z, такое, что y = z x.

Это расширяет понятие делимости натуральных целых чисел. Мы также можем расширить понятие простого числа; Говорят, что отличное от единицы целое число Эйзенштейна x является простым числом Эйзенштейна, если все его делители имеют вид ux, где u – любая из шести единиц.

Можно показать, что натуральные простые числа, сравнимые с 1 по модулю 3, а также число 3, можно представить в виде x² − xy + y² (x, y – целые) и, поэтому, могут быть разложены (x + ωy)(x + ω²y), а следовательно, не являются простыми числами Эйзенштейна. Натуральные простые числа, сравнимые с 2 по основанию 3, не могут быть представлены тем же образом, так что они являются также и простыми числами Эйзенштейна.

Каждое целое число Эйзенштейна a + bω, норма которого a² − ab + b² - натуральное простое, являются простыми Эйзенштейна.

Евклидово кольцо

Кольцо чисел Эйзенштейна образуют евклидово кольцо, в котором норма N задается формой

$N(a + b\,\omega) = a^2 - a b + b^2. \,\!$

Это может быть выведено следующим образом:

$\begin{align}N(a+b\,\omega) &=|a+b\,\omega|^2\\ &=(a+b\,\omega)(a+b\,\bar\omega)\\ &=a^2 + ab(\omega+\bar\omega) + b^2\\ &=a^2 - ab + b^2\end{align}$

Фактор-группа C по целым Эйзенштейна

Фактор-группа комплексной плоскости C по решётке, содержащей все целые числа Эйзенштейна является комплексным тором фактической размерности  2, который является наибольшей степенью симметрии среди всех комплексных торов.

Смотрите также

• Гауссовы целые числа
• Кольцо Куммера
• Константа Эрмита
• Кубический закон взаимности
• Кватернион Гурвица
• Квадратные числа
• Круговое поле

External links

• Eisenstein Integer--from MathWorld