Обсуждение:Решение треугольников

Unnamed

КАК НАЙТИ УГОЛ 90° ЗНАЯ РАЗМЕРЫ ТРЁХ СТОРОН. ВОПРОС: КАКИЕ РАЗМЕРЫ ЭТИХ СТОРОН ТРЕУГОЛЬНИКА?--83.149.8.140 20:49, 11 августа 2012 (UTC)

Ничего не понял, могу только предположить, что имеется в виду теорема Пифагора. Но вопросы лучше задавать не здесь, а на форуме типа http://otvet.mail.ru/ или dxdy.ru, раздел: Математика. В Википедии разрешается только обсуждение способов улучшения статьи. LGB 10:29, 12 августа 2012 (UTC)

Неудачно сформулирован случай "Две стороны и угол не между ними".

Традиционно обозначают неизвестную сторону за x , записывают теорему косинусов и решают квадратное уравнение.--188.123.231.43 08:24, 12 августа 2012 (UTC)

Я в статье строго следовал источникам. Укажите точную ссылку, где изложен метод, названный Вами «традиционным», разберёмся. Пока только могу выразить некоторое сомнение, поскольку квадратное уравнение даёт 2 вещественных решения или ни одного, в то время как в 2 случаях из 3 решение данного варианта единственно. Кроме того, изложенный в статье алгоритм настолько простой и исчерпывающий, что вряд ли его можно улучшить. Прошу уточнить. LGB 10:29, 12 августа 2012 (UTC)

Анонимус больше года не отвечает, отвечу я:

* Во-первых, там не 3, а 4 случая, третий состоит из двух подслучаев. Действительно, в двух из них решение единственно.

* Во-вторых, квадратное уравнение может иметь не только ноль или два вещественных корня, но и один (его называют «кратный», или «два равных корня»).

* В-третьих, и это главное. Один или оба корня могут быть геометрически бессмысленны — отрицательны или равны нулю, а сторона должна быть положительной. Навскидку можно назвать два случая, когда кв.ур. имеет один положительный корень: 1) кратный положительный, 2) два корня разных знаков.

Метод, который анонимус назвал традиционным, я пока не нашёл в каких-либо источниках, но скорее всего он работает, ибо нет никаких оснований сомневаться в теореме косинусов или в формуле корней кв.ур-ия. Dmitry Fomin 19:47, 11 ноября 2013 (UTC)

Способ с квадратным уравнением

Попробую сформулировать способ, который 188.123.231.43 называет традиционным. Пусть даны, как и в статье, угол β и стороны b,c. Записываем теорему косинусов для этого угла

$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta$

Переобозначаем a = x, переносим всё в левую часть, группируем по степеням икса:

$x^{2}-2c\cos \beta \cdot x+c^{2}-b^{2}=0$

Это приведённое квадратное уравнение вида $x^{2}+px+q=0$, где

$p=-2c\cos \beta$,

$q=c^{2}-b^{2}$.

Корни находятся по формуле

$x_{1,2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-q}}=c\cos \beta \pm {\sqrt {c^{2}\cos ^{2}\beta -(c^{2}-b^{2})}}=c\cos \beta \pm {\sqrt {b^{2}-c^{2}\sin ^{2}\beta }}$.

Известно, что:

• число различных действительных корней (0, 1 или 2) зависит от знака дискриминанта

$\Delta ={\frac {p^{2}}{4}}-q=b^{2}-c^{2}\sin ^{2}\beta$ (обозн.Δ, чтобы не путать с D в статье)

• знак корня, бо́льшего по модулю, противоположен знаку среднего коэф-та p ;
• если q > 0, то корни (если они есть) одного знака;
• если q < 0, то корни точно есть и разных знаков.
• если q = 0, один корень равен нулю, другой −p.

По знаку дискриминанта имеем три основных случая.

1. Δ < 0 — корней нет, такого треугольника не существует. Это соответствует случаю 1 из статьи: $b^{2}<c^{2}\sin ^{2}\beta \Rightarrow b<c\sin \beta \Rightarrow {\frac {c}{b}}\sin \beta >1$
2. Δ = 0 — один корень $x=c\cos \beta$. Легко видеть, что треугольник прямоугольный ($a=c\cos \beta ,b=c\sin \beta$ ). Это соответствует случаю 2 из статьи (${\frac {c}{b}}\sin \beta =1$).
3. Δ > 0 — два корня, четыре подслучая по знакам:
   1. q < 0, т.е. $c^{2}-b^{2}<0\Rightarrow c<b$ — корни разных знаков, отрицательный геометрически бессмыслен и решение даётся положительным корнем $a=c\cos \beta +{\sqrt {b^{2}-c^{2}\sin ^{2}\beta }}$ — соответствует случаю 3.2 из статьи при c < b.
   2. q = 0, т.е. $c^{2}-b^{2}=0\Rightarrow c=b$, треугольник равнобедренный — один корень равен нулю, что геометрически бессмысленно, решение даётся ненулевым корнем $a=c\cos \beta +{\sqrt {c^{2}-c^{2}\sin ^{2}\beta }}=2c\cos \beta$, если он положителен (для этого угол β должен быть острым; угол при основании равнобедренного треугольника не м.б. прямым или тупым). Это соответствует случаю 3.2 из статьи при c = b.
   3. q > 0, p < 0 — два положительных корня $a=c\cos \beta \pm {\sqrt {b^{2}-c^{2}\sin ^{2}\beta }}$ — соответствует случаю 3.1 из статьи
   4. q > 0, p > 0 — два отрицательных корня. Этот случай невозможен: из условия p > 0 следует cosβ < 0, т.е. угол β — тупой, а из условия q > 0 следует c > b, откуда γ > β и γ — тупой, а двух тупых углов в треугольнике быть не может.

Случай Δ > 0, q > 0, p = 0 невозможен (Δ = −q при p = 0)

Замечу, что источников, описывающих этот метод, я не знаю; если найдутся, можно будет перенести материал в статью. Dmitry Fomin 12:33, 16 ноября 2013 (UTC)

Правки de Riban5: Тригонометрия углов

Уважаемый коллега, вы, как я понимаю, новичок в Википедии, и, возможно, не знаете, что отмена отмены в Википедии запрещена и расценивается как попытка начать войну правок. Прошу вас больше так не делать. Вплоть до завершения данного обсуждения ваши правки отменяются.

Моя первая отмена была основана на следующих соображениях.

1. Тема статьи ясно сформулирована в её преамбуле в соответствии с ВП:АИ: «по известным данным о треугольнике (стороны, углы и т. д.) найти остальные его характеристики». Способы измерения углов — явный оффтопик, это для статьи Угол.
2. Сайты http://2mb.ru и др. не являются авторитетным источником, поскольку на них не указано, кто их поддерживает, какие источники использованы и т. д.
3. Текст вашей вставки содержит грамматические ошибки, неэнциклопедичен и местами просто непонятен.

LGB 11:45, 7 мая 2014 (UTC)

1. Тема статьи не совсем ясно сформулирована в её преамбуле (на самом деле, желательно): «по известным данным о треугольнике (стороны, углы и т. д.) найти остальные его характеристики (углы, стороны...)» - наприм., стороны есть, а углы - найти и т.п. ... Эт никак не угол, а практическая тригонометрия — Решение треугольников
2. не АИ источник не является запретным в Wiki, тем более что он абсолютно достоверен (АИ, критерий отнесения к АИ, - дело сугубо индивидуальное: хочу/не хочу, нравится/не нравится); если вы знаете лучшую таблицу - можно предоставить. Если вам не понравилася моя интернет-ссылка, можно было конструктивно заменить на свою, на ваш взгляд более приемлемую, а не деструктивно откатывать - непонятно для чего...
3. Правьте смело… мы ж wiki-энциклопедию пишем не друг для друга?!?

с почтением --De Riban5 12:06, 7 мая 2014 (UTC)

Тема статьи сформулирована в точном соответствии со всеми перечисленными в данной статье АИ (Выгодский, Зайцев и др.), и если вы считаете, что тема сформулирована неясно, то все претензии к авторам учебников. Давайте так: укажите хоть один АИ, где в тему «Решение треугольников» включены технические способы измерения углов. Подчеркну: не вычисления (например, по теореме косинусов), а именно измерения.

Ваше утверждение: «критерий отнесения к АИ, - дело сугубо индивидуальное: хочу/не хочу, нравится/не нравится» настораживает. Эта фраза прямо противоречит правилам и духу энциклопедии. Прошу перечитать ВП:АИ.

«мы ж wiki-энциклопедию пишем не друг для друга» — вот тут я с вами полностью согласен. Статья пишется для читателей, и они вправе требовать от нас, авторов, достоверной, понятной, полной, проверяемой, грамотной и чётко оформленной информации. Особенно это важно для Википедии, поскольку замусорить статью не относящейся к теме посторонней информацией здесь очень легко.

Если я вас не убедил, согласно правилам вы имеете право запросить посредничество независимого эксперта. LGB 12:25, 7 мая 2014 (UTC)

…и если вы считаете, что тема сформулирована неясно, то все претензии к авторам учебников. — скорее претензии к вам, почему вы считаете, что статью можно интепретировать на основании одного учебника(?).
В названии «Решение треугольников» никоим образом нельзя вывести строго однобокое определение, что решать его надобно вычислениями (sin, cos, tg, ctg, sec, cosec...). Жизнь (и наука) складывается не с одной какой-то монографии (Выгодский; при всём к нему уважении) и не стоит на месте, а диктует условия, например в горах, или в степи = без компьютера (без MS Office Excel; и без Интернета, позволяющего вычислять on-line для ленивых), без калькулятора (без простого школьного, позволяющего вычислить токмо sin, cos [но не arcsin & arccos], т.е. требующего учебника-таблиц), без школьного учебника по геометрии (с таблицами sin, cos) простыми способами решить сложные задачи. Кстати, известно ли вам, что именно из природных, естественных технических измерений родилось множество наблюдений и математических выкладок (sin, cos) ...буквально на пальцах?
Да, допускается любой источник, если он содержит достоверную корректную информацию (если у вас есть альтернативный АИ - милости просим, предоставьте)
Каким образом информация Практической тригонометрии не относится к Практической тригонометрии углов?!?

Давайте обсудим, чем может быть неприемлемо (?):

<ref>Углы можно также найти с помощью функций таблицы MS Office Excel: вычисляем cos, затем arccos, и после этого необходимо перевести [также функциями] значение радианов в градусы (°), и получим искомый результат.</ref>

<ref>См. также on-line расчет треугольника</ref>

Два первых вышеприведённых - целиком и полностью вычисления

Решение задач простым способом

Как измерить угол (наприм., на карте) с помощью сторон треугольника (например, при отсутствии инженерного/тригонометрического калькулятора (и таблиц) и отсутствии ПК (MS Office Excel) для вычисления cos) и подручными средствами — линейки с миллиметровыми делениями (?).
По сторонам угла отложите отрезки по 60 мм и концы соедините прямой линией. Расстояние этой линии в миллиметрах покажет примерно величину угла в градусах. Таким способом можно с достаточной [приемлемой] точностью измерять острые углы до 60°. Если угол больше 60°, измеряют его дополнение до 90°, 180, 270° или 360°. Для измерения дополнения до 90° или 270° из вершины угла строится с помощью треугольника перпендикуляр к одной из сторон (в равнобедренном треугольнике — медиана-биссектриса).

Как измерить угол линейкой (при визуальном ориентировании на местности …и сравнить угол по карте - см. пункт 1)?
Поместите линейку с миллиметровыми делениями перед собой на расстоянии 57 см (не более 60 см) от глаза. В этом случае деление, равное 1 см, будет соответствовать углу визирования в 1°. В справедливости данного способа вы легко убедитесь, если помните, что дуга центрального угла в 1° составляет 1/57 часть радиуса. Точность измерения углов с помощью линейки [также как и с помощью пальцев; см. ниже] зависит от точности положения линейки [или пальцев] на необходимом расстоянии от глаза. В этом можно быстро натренироваться с помощью нитки, длина которой соответствует расстоянию от глаза до пальцев вытянутой руки.

Как можно измерять и откладывать на местности углы без применения угломерных приборов?
Наиболее просто это можно сделать сравнением измеряемого угла с прямым. Прямой угол вы можете отложить направлениями рук, одна из которых вытянута вдоль плеч, а вторая с поднятым большим пальцем направлена так, чтобы палец правой руки был перед правым глазом (соответственно палец левой руки — перед левым глазом). Прямой угол можно глазомерно поделить на две или три равные части, каждая из которых будет соответствовать 45° или 30°.
Меньшие значения углов можно отложить или измерить на местности следующим приёмом. Прежде всего измерьте линейкой ширину трёх сомкнутых пальцев своей руки: указательного, среднего и безымянного. Если она у вас будет равна 6 см, то при вытянутой на 60 см руке угол визирования на них составит 6°. Соответственно угол визирования на каждый из этих трех пальцев будет равен в среднем 2°. Если же ширина трёх пальцев получится у вас, наприм., 5 см, то, чтобы углы визирования были такими же, руку надо вытягивать на 50 см.

При вытянутой руке угол визирования на большой и указательный пальцы, раздвинутые под прямым углом, составляет примерно 15°. Как это проверить и уточнить?

Прежде всего заметьте на местности ориентир и от него отложите угол 90°. Это можно сделать приёмом, описанным в предыдущей задаче. Затем от ориентира отложите шесть углов по 15° визированием на большой и указательный пальцы, раздвинутые под прямым углом. Последнее отложение угла должно составить на местности прямой угол. Если этого точно не получилось, нужно повторить отложения, держа вытянутую руку немного ближе или дальше от глаза [порядка 60 см]. Этим самым вы определите расстояние, на которое нужно вытягивать руку для отложения угла 15°.<ref>Куприн А. М. На местности и по карте. — М. Недра, 1982. — 112 с.</ref>

Вы меня не убедили... Но я не закрываюсь, а прошу штоб вы не замыкались,
и обсудемте. С наилучшими --De Riban5 13:06, 7 мая 2014 (UTC)

Дискуссии в Википедии, согласно правилам, должны вестись не по принципу «кто кого переспорит», а по принципу «у кого источники авторитетней». Посмотрите примеры в любой статье по спорной теме. Поэтому нет смысла обсуждать вопросы о том, однобоко ли определение и стои́т ли жизнь на месте. Если вам не нравится определение — приведите другое из достойного доверия АИ, ваша личная точка зрения (как и моя) не принимается во внимание, поскольку мы с вами — не АИ. Вы не привели ни одного источника в подтверждение своей позиции.

Да, измерения играли важную роль в создании тригонометрии, но не только измерения, то же можно сказать, скажем, о теоретических методах астрономии и астрологии. Следуя вашей логике, надо их тоже включить в статью? Фраза «допускается любой источник, если он содержит достоверную корректную информацию» — это вы серьёзно или шутите? Если есть основания считать, что источник достоверный (эти основания перечислены в ВП:АИ), то это уже никак не «любой источник». Если таких оснований нет, источник в энциклопедии неуместен.

Причину моих сомнений в сайте 2mb.ru как АИ я уже изложил. Если хотите, вынесите этот вопрос на форум ВП:КОИ, пусть там решают. Если одобрят, включим сайт в раздел «Интернет-ссылки».

Вторично прошу: укажите хоть один АИ, где в тему «Решение треугольников» включены технические способы измерения углов. Если таких нет, продолжать обсуждение не вижу смысла. LGB 10:26, 8 мая 2014 (UTC)

Мы не собираемся вас переубеждать, а поднять …и проверить факты (нам не интересно переспаривать, а интересно получить хоть какие-то обоснования деструктивным (?!?) откатам - с толком, чуством, с растановкой...).
Фраза «допускается любой источник» - на полном серьёзе, найду - предоставлю (несколько десятков-сотен лет назад читал как-то :) )…
Смотрите - и не говорите, што не видели, слушайте - и не говорите, што не слышали… а разумейте своим умом!..

ВП:АИ#Источники и ссылки: «При написании статьи следует использовать
 авторитетные источники, однако для ссылок,
 которые ставятся как в тексте статьи, так и в разделе «Ссылки»,
 допустимо использование материалов, которые не удовлетворяют
 критериям для авторитетных источников.»

Надеюсь, вы не новый человек в математеке (меня вы можете считать кем угодно, нам это мало интересно; меня можно считать новичком, но давайте не будем считать нас мальчишкой — перед Господом Богом все ВП:РАВНЫ), и вам не внове, что Таблица(таблицы) по ссылке не являются чьим-либо авторским достоянием, находятся в свободном доступе с незапамятных времён — в любом школьном учебнике по геометрии (ёще в бытность мою школьником), практически любой книжке по тригонометрии. По-этому сайт (интернет-ссылка) подошёл бы любой (форум, блог; другое дело што оне, т.е. выборочно, в wiki не приемлемы). Эт тоже самое, если б вы делали запрос на источник [ещё не какой-нибудь, а АИ] таблицы ПСХЭ Дмитрухи Менделеева...
может вы ещё запросите источники (или, Боже упаси, АИ) ко всем таблицам в Тригонометрические функции и для Таблицы Брадиса — это типа прикол?!? или где?!? (как говорят в Одессе)
В отмене наших правок не вижу смысла и обоснования..
Решение треугольников#Примеры практического применения - приведены практические задачи и способы их решения…
Давайте так (обсудим): Почему мы не можем вставить 1 задачу нашу, например Первую - Как измерить угол по сторонам треугольника обычной линейкой?
и см. две первые цитатки (две наши правки из статьи тут цитаты) - строго математические вычисления… с ув. --De Riban5 11:19, 8 мая 2014 (UTC)

Вы не ответили ни на один мой вопрос и не привели, после двух запросов, никаких АИ в подтверждение своей точки зрения. Ваш стиль ведения дискуссии можно рассматривать как образец ВП:НЕСЛЫШУ, ВП:ПОКРУГУ и других неуместных методов спора. Наше обсуждение закончено, я ещё раз рекомендую вставить обсуждаемую информацию в статью Угол, или Геодезия, где она будет на месте. Если вы найдёте АИ в пользу вашего утверждения, что измерение углов входит в задачу решения треугольников, я готов возобновить обсуждение. Желаю успехов в Википедии. LGB 16:32, 8 мая 2014 (UTC)

Будьте добры, вы можете привести хоть один источник (не обязательно АИ, т.е. без дискриминации), один единственный любой источник, где для темы «Решение треугольников» утверждается об единичном решении математическими способами, без технических способов измерения углов? Не надобно замыкаться пожалуйста, а обосновать/аргументировать свои никому непонятные откаты.. --De Riban5 10:00, 13 мая 2014 (UTC)
Ежели вы не можете внятно объяснить аргументированность ваших откатов, по порядку [1], [2], [3], [4], [5], а также [6], [7], [8], то может быть надо было предварительно вынести на обсуждение. Предполагайте добрые намерения и молча не желательно откатывать (типа объяснять и вести обсуждение мы не будем, т.к. «продолжать обсуждение не вижу смысла»?!?). --De Riban5 10:15, 13 мая 2014 (UTC)

Прошу прекратить неконструктивный спор, переходящий в троллинг. Никто не обязан доказывать, что измерение углов, а также футбол и балет являются отдельной темой, прямо не связанной с решением треугольников. Это вы, а не я, обязаны доказать с помощью общепризнанных АИ, что такая связь существует. Сумеете — ваша взяла. Если нет — обращайтесь на форум проекта Математика, к посредникам или в арбитраж. LGB 11:08, 13 мая 2014 (UTC)

«…что такая связь существует» — предлагаю вам воочию проверить на любом, АБСОЛЮТНО любом, треугольнике, - без калькулятора, без заморочки (sin/cos), без ПК, и даже без Интернета, и даже (во чудо!) без циркуля и транспортира:

Решение задач простым альтернативным способом

Как измерить угол (наприм., на карте) с помощью сторон треугольника (например, при отсутствии инженерного/тригонометрического калькулятора (и таблиц) и отсутствии ПК (MS Office Excel) для вычисления cos) и подручными средствами — линейки с миллиметровыми делениями (?).
По сторонам угла отложите отрезки по 60 мм и концы соедините прямой линией. Расстояние этой линии в миллиметрах покажет примерно величину угла в градусах. Таким способом можно с достаточной [приемлемой] точностью измерять острые углы до 60°. Если угол больше 60°, измеряют его дополнение до 90°, 180, 270° или 360°. Для измерения дополнения до 90° или 270° из вершины угла строится с помощью треугольника перпендикуляр к одной из сторон (в равнобедренном треугольнике — медиана-биссектриса).

..не получится удостовериться — ваша взяла, так и быть, я проиграл! (т.е. вы не увидили моих фактов; на самом-то деле я не спорил - а ждал объяснений деструктиву)
Если нет — обращайтесь на форум проекта Математика, к посредникам или в арбитраж. — Мы чужие правки не откатываем (готовы отвечать за свои; от обсуждения не увиливаем), и в посредниках не нуждаемся, — при желании можете пригласить посредника (я даже не знаю как, да и зачем?!?), пусть он будет даже „за вас“ или „против меня“. Успехов! --De Riban5 11:30, 13 мая 2014 (UTC)
Если б у меня не было бы аргументов своих деяний (как бы я не был-бы не прав), я б никогда не называл бы обсуждение-спор троллингом (а оппонента - троллем)…
Может я и не прав, звыняюсь... Возможно вы и правы (може в других статьях оно уместней?!?). С наилучшими… --De Riban5 07:29, 14 мая 2014 (UTC)

Излишнее и невразумительное пояснение?!?

Убрал излишнее и невразумительное пояснение. Кроме того, преобразование из радианной в градусную меру нужно не всегда… — А когды?!? ??? Што такое излишнее и невразумительное?!? Вам чем-нибудь можно угодить??? ВП:Правьте смело (для прикола удаливать не обязательно). Если вы это понимаете, то эт не значит шо это понимает среднестат. читатель (наприм., школьник, который не читает учебники... и в статье выше и ниже)
преобразование <…> нужно не всегда — В комментариях к правкам общаться не совсем годится. Ежели не всегда (если вы знаете большего нашего), то поправьте в статье (ВП:Правьте смело), вам и карты в руки… с почтением --De Riban5 (обс) 12:03, 3 сентября 2014 (UTC)

Спокойнее. Вы вставили пояснение: «а из косинуса (дробь представляет собой не что иное как косинус) находим арккосинус». Теперь мысленно представьте себе читателя, который, найдя это ваше пояснение, пытается понять, что за дробь имеется в виду (перед пояснением никаких дробей нет, а после него их целых две) и зачем вообще нужно пояснять, что арккосинус находит угол по известному косинусу этого угла. Теперь второе ваше пояснение: «после нахождения арккосинуса необходимо перейти из радианной меры в градусную». Во-первых, это не обязательно — может быть, читатель пользуется таблицами, где значение арккосинуса указано именно в градусах, и ваше пояснение только дезориентирует его. Во-вторых, если пользователь нуждается в подобных тривиальных пояснениях, то ему лучше вообще не заниматься решением треугольников. LGB (обс) 12:49, 3 сентября 2014 (UTC)

Я мысленно представляю себе именно средне-статического читателя, а не преподователя (?), каковой это может и понимает, но изъяснить нам читателям не может/не хочет, и замечу (!), упорствует в том, чтоб эт пояснили др. участники… (я не говорю конкретно; не указываю пальцем)
перед пояснением никаких дробей нет - да, не имеется; но там стоит абзац (пропуск строки), так что пояснение касается нижеизложенного текста - обоих формул!! (по-нашему, в обоих речь идёт об арккосинусах)
зачем вообще нужно пояснять, что арккосинус находит угол по известному косинусу этого угла — зачем пояснять?!? А зачем искать всякие там углы/стороны, ведь это всё читатели/школьники (а может и мн. студенты ВУЗов) телепатически знают уже до нашего обучения (пояснения)?!? ???
Во-первых, это не обязательно — может быть, читатель пользуется таблицами, где значение арккосинуса [т.е. что и есть радианы] указано именно в градусах [?!?], и ваше пояснение только дезориентирует его. — где такие таблицы есть? (радианы в градусах, — вы не желаете их привести в статье??) и как может пользователя ввести в заблуждение градусная таблица? (ведь там написано шо она в градусах) А переход из радианов в градусы как раз и существует для того, штоб пользователь понимал шо он не получит число на блюдечке с голубой каёмочкой, а вычислил его… или хотя-бы имел об этом представление (откудова корни растут, и для чего :) )
Во-вторых, если пользователь нуждается в подобных тривиальных пояснениях, то ему лучше вообще не заниматься решением треугольников. — и, добавлю, читать энциклопедию Wikipedia (таким макаром можно дойти, што и писать Википедию особой надобности нет... А зачем?!?)

Чтобы найти углы $\alpha ,\beta$, воспользуемся теоремой косинусов:

$\alpha =\arccos {\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}$

$\beta =\arccos {\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}$

…Чтобы найти углы <...> воспользуемся теоремой косинусов — где там косинусы (?), или теорема косинусов (?), иль вывод из неё?!? и почему в формуле идёт речь не о косинусах, а сразу почему-то об арккосинусах - откудова они взялись, и для чего они (в предваряющем пояснении о последних ни слова)? Догодайся и угадай-ка сам?!?
Далее, из источника (примечания):

cos A = <...> <...ля-ля-труля-ля> = 0,25
A = cos⁻¹(0,25)

Эт ещё што?!? откуда косинус в минус первой степени (?), какое, и имеет ли, отношение к арккосинусу (в ссылке о нём ни буквы; эт — cos⁻¹ — может быть скорее секанс?!?)??
…хотя вероятнее всего cos⁻¹ - это кнопка на научных/инженерных калькуляторах (на этой кнопке «⁻¹» обозначено др. цветом, затенённым), при вкл./перекл. оно обозначает не секанс, а обратную тригоно-функцию - арккосинус. но это всё пользователь-читатель должен догадаться сам?!?
Наше пояснение постулировало следующее: Нахождение угла (углов) состоит из трёх обязательных (категорически не-излишних) стадий: (1) cos, (2) arccos, (3) радианы → градусы… при этом можно пользоваться таблицами для (1) & (2) (можно добавить, для (2) [также как и для (1)?] имеются готовые таблицы с перерасчётом из радианов в градусы; о том што имеются какие-либо таблицы многие читатели и слыхом не слыхивали и не догадываются, и по-старинке до-се считают на деревянных счётах :) ) …при этом можно пользоваться не таблицами (при их не-наличии), а различными (многочисленными) расчётами-вычислениями! (наприм., в горах (с ноутбуком-планшетом, без интернета!), на деревне у дедули на куличках-на Чукотке (где ни ПК, ни Интернета, ни учебников с таблицами в обозримом веке не грозит :) ))

Вопросик: ВП:ХС, ВП:ИЗБ, ВП:ДС — эти статьи нельзя редактировать??? Они совершенны (застопорены)?!?
Поймите меня (особой надобности в утешении-успокоении не нуждаюсь). Я не доказываю свою правоту и/иль вам - вашу неправоту! Я токмо стремлюсь к улучшению Wiki. С наилучшими --De Riban5 (обс) 11:26, 4 сентября 2014 (UTC)

Я исправил вашу последнюю вставку, некстати добавленную не на место. Перечитайте ещё раз, что у вас получилось: «значение косинуса определяет угол однозначно. Исключением является прямоугольные треугольники». Естественно, слово «исключение» будет читателем понято по отношению к предыдущей фразе, то есть: в прямоугольных треугольниках значение косинуса не определяет угол однозначно. Я причесал текст, передвинув его выше. И так у вас постоянно, вместо нормального энциклопедического стиля получается нечто рыхлое, неоднозначное или вовсе непонятное. Может быть, я придираюсь? Давайте пригласим вынести суждение квалифицированного посредника-математика, например, bezik. У него прекрасное чувство стиля, пусть разрешит наш спор. LGB (обс) 16:27, 4 сентября 2014 (UTC)

На-счёт последней правки, соглашусь (может поторопился…). Хотя… хотя... (как сказать)
«в интервале от $0^{\circ }$ до $180^{\circ }$ значение косинуса определяет угол однозначно» — косинус определяется однозначно (!); и только синус определяется (может определяться) неоднозначно, — так што от перестановки мест слагаемых сумма не меняется (как ни крути; далее и более того, практически чаще всего на практике (в жизни) и опыте (в школе) требуется (оговаривается), шо зачастую во всех случаях требуется найти их наименьшее положительное значение, т.е. для первой четверти, т.е. в нашем примере $\sin \alpha =30^{\circ }$)…
И так у вас постоянно... — человек (любой) не могет работать без ошибок, помарок, опечаток, погрешностей (он также не застрахован от „левого вандализма“; „не ошибётся тот, кто сидит сложа руки“); участник не может постоянно ошибаться, он не может постоянно ошибаться одинаково (если он к тому же стремится к совершенствованию - „кто не ходит, тот не падает“, „и [даже] праведник се(д)мижды на день падает, или согрешает)“ — т.е. все ошибаются иль грешны; безгрешных нет; Сколько живу, ещё не видал белых, пушистых (безупречных) праведников… мы ж простые-грешные ни от чего не застрахованы)…
Может быть, я придираюсь? — По всей вероятности, Да! (!?!). Если смотреть сызбоку, то можно сказать без преувеличений, што придирки обоюдны. Ну дык, шо в этом плохого (?), Ничего поганого в этом не вижу — „В споре рождается истина“…
Касательно посредника также не против.
И так мы говорим о:

[9]: Чтобы найти углы $\alpha ,\beta$, воспользуемся теоремой косинусов^{<ref>[6]</ref>}, а из косинуса (дробь представляет собой не что иное как косинус) находим арккосинус^{<ref name="Арк">После нахождения арккосинуса необходимо перейти из [[радиан]]ной меры в [[Градус (геометрия)|градусную]]</ref>}.

… Более того, надеюсь вы согласитесь, што можно пользоваться не теоремой косинусов (выводом из теоремы cos), а самим косинусом, т.е. соотношением [2-х] сторон; Наприм., произвольный равнобедренный треугольник, поделить высотой (биссектрисой, медианой) пополам на две части - два прямоугольных треугольника; третья сторона (высота) ищется по Пифагору, но, поскольку, эта сторона зачастую получается дробная, то используются две известные стороны — одна сторона и половина второй, то бишь основания (а высота-катет не используется). и поэтому легче и проще пользоваться простым соотношением двух сторон (косинус в прямоугольном треугольнике & Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике)… при этом можно искать (начать вычислять) с любого угла (кроме прямого, который известен), в т.ч. половинного, каковой поделён. Далее, делёж треугольника имеет смысл ещё и в том, что если мы имеем дело с равнобедренным треугольником с тупым углом (против основания), то после деления имеем пару прямоугольных треугольников, в которых вычисляем синус однозначно! т.е. можно искать любой угол, пользуясь любыми соотношения сторон (впрочем, достаточно двух), т.е. и cos, и sin…
Надеюсь на понимание, --De Riban5 (обс) 12:26, 9 сентября 2014 (UTC)

Алгоритм, изложенный в статье, соответствует всем авторитетным источникам по теме. На чём основаны ваши путаные и малопонятные рассуждения, мне неизвестно, приведите ссылку. При чём тут прямоугольные треугольники? Для них решение задачи на два порядка проще. В статье изложен универсальный алгоритм, пригодный для любого треугольника.

Разъяснять в статье, что из равенства $\cos x=a$ следует $x=\arccos a,$ я считаю излишним. Если читателю это неизвестно, то польза от статьи ему будет не больше, чем слепому от просмотра порнофильма.

Теперь насчёт необходимости перерасчёта из радианов в градусы: я посмотрел таблицы Брадиса и таблицы в справочнике Выгодского, всюду значение арккосинуса приведено в градусах, так что никакие преобразования не требуются. Вам действительно попадались практические таблицы со значениями в радианах? Дайте ссылку. LGB (обс) 12:04, 10 сентября 2014 (UTC)

На чём основаны ваши путаные [?!?] и малопонятные [!?] рассуждения, мне неизвестно, — на логике! Представьте, што вы (и мы) не учились в ВУЗе и школу ещё не закончили (пользователи-чайники)… Весь процесс логически-математических выкладок состоит из трёх стадий. Без одной из них [ хотя бы одной] вы не решите поставленной задачи! Попробывайте!

Разъяснять в статье <…> я считаю излишним. — Эт почему же?!? Если читателю это неизвестно, то после объяснения это будет усвоено, и при понимании легче запомнится!!! И польза (КПД) будет наивысшая! Насчёт таблиц. Представьте, [вы школьник и] у вас таблиц под рукой нет (в школу идти лень) – НИ ОДНОЙ ТАБЛИЦЫ (зашли в любую библиотеку, а там, как правило, школьных учебников [с таблицами] нет); а есть, например, калькулятор (и/или Калькулятор (Windows))/MS Office Excel (без Интернэта), позволяющие вычислить и (1) cos, и (2) arccos, и воспроизвести (3) перерасчёт из радианов в градусы (каковой для вас необязательный?!?).

Хорошо, ещё момент. Напечатанное мелким шрифтом в авторитетных энциклопедических статьях при чтении можно пропустить без ущерба для понимания текста статьи. По большей части это — пояснения, предназначенные для интересующихся математической стороной дела. При усвоении оно легче и проще запоминается.
Мы можем это написать мелким шрифтом? (впрочем, по-моему, оно и было изначально мелким) Искренне --De Riban5 (обс) 13:17, 10 сентября 2014 (UTC)

Ежели вы попробывали пересчитать (вычислить) без таблиц задачку, то после нахождения cos & arccos, найденные значения [без 3-й стадии, как ныне в wiki!] будут отличаться от табличных. И вы [как школьник средний] будете долго чесать затылок: а чё так?!? Ну если вы будете знать, што существует 3-я стадия (обязательная!) — перевод из радианов в градусы — то скоро получите желанный искомый результат… и будете приятно удивлены, шо он совпадает с табличным (таблицы зачастую, или почти всегды, могут быть градусные и для arccos (?), и для cos (?)). С наилучшими --De Riban5 (обс) 11:27, 11 сентября 2014 (UTC)

Весьма сожалею, но по правилам Википедии статьи должны быть основаны не на субъективной «логике», а на авторитетных источниках. Ни один из известных мне АИ по решению треугольников не содержит попутных разъяснений, что такое арккосинус, даже мелким шрифтом. Посмотрите в других языковых разделах Википедии — их стиль близок к русской статье и содержит только тематический материал, тригонометрические функции считаются известными. Чтобы не путать энциклопедию с учебником, советую перейти в Вики-учебник (вот сюда) и создать там расширенную статью о решении треугольников. Я мешать не буду, даже наоборот.

Насчёт калькуляторов: упомянутый вами калькулятор Windows содержит средства для прямой работы с градусами без промежуточного перевода в радианы. Например, кнопка арккосинуса (Inv + Cos) в режиме градусов даёт сразу ответ в градусах. LGB (обс) 16:07, 12 сентября 2014 (UTC)

Не знамо… По ходу, вам не объяснишь ни субъективной логикой, ни объективной логикой, ни же констатацией фактов (?!?). «тригонометрические функции считаются известными» … «Ни один из известных мне АИ по решению треугольников не содержит попутных разъяснений, что такое арккосинус, даже мелким шрифтом» — Мы не вели (нигде) речь о подобной необходимости — что такое „косинус“/„арккосинус“ естественно мона растолковать в соответствующих статьях. Мы ведём речь о количестве стадий вычислений (три), и перечислении их по порядку! (т.е. в тексте идет речь почему-то о косинусах, а в ниже-следующей формуле речь уже идёт об арккосинусах …с исчезновением косинусов?!?) «калькулятор Windows содержит средства для прямой работы с градусами без промежуточного перевода в радианы» — вы ничего не попутали? (не сбивайте меня — я сам собьюсь :) ) Калькулятор (и Windows, и Linux) использует тот же алгоритм вычислений что табличка Office Excel (см. рис. — обратите внимание на три стадии, обратите также внимание на строку ввода формул; OpenOffice Calc предусматривает такой-же трёхстадийный алгоритм). Эту опцию - готовый результат в градусах (без промежуточного перевода в радианы, если он скрыт, эт не значит што он отсутствует вовсе) - ещё нужно включить. Во многих калькуляторах она не стоит по умолчанию, т.е. вы выбрали градусное измерение, а после выключения/включения калькулятора градусные результаты ещё нужно включить/переключить по-новой. То же самое касается и научного/инженерного (аппаратного) калькулятора — результат даёт преимущественно в радианах [то же происходит и в случае OnLine-научных калькуляторов — при непосредственном отсутствии опций <arccos>/<arcsin> необходимо включить перекл. 2^nd].
Затем, ежели вы так ратуете за таблицы косинусов/аркосинусов… Если у вас, наприм., имеется под рукой таблицы косинусов (синусов и проч.), то там уже (по всей вероятности? преимущественно?) идут значения углов в градусной мере. И зачем вам тогда вычислять какой-то арккосинус?? ?!? С ув. --De Riban5 (обс) 11:58, 27 сентября 2014 (UTC)

Правки De Riban5 от 13.09.2014

=== Расстояние между двумя точками под землей ===
В конце XIX века был предложен фантастический проект подземной самокатной дороги, соединяющей по прямой линии Москву с С.-Петербургом (рис.). Под каким углом уходила бы дорога в землю в Москве и Петербурге? Радиус земного шара 6,37•10⁶ м, расстояние между Москвой и С.-Петербургом 650 км = 6,5•10⁵ м (по поверхности Земли).

Расстояние С.-Петербург — Москва

Решение:

Длина дуги окружности, соответствующей центральному углу в n° (2α) определяется по формуле:

$l={\frac {\pi \cdot R\cdot n}{180^{\circ }}}$

Отсюда

$n={\frac {l\cdot 180^{\circ }}{\pi \cdot R}}$

$n={\frac {650000\cdot 180^{\circ }}{3,141592653\cdot 6370000}}={\frac {117000000}{20011945}}\approx 5,846508^{\circ }$

$\alpha ={\frac {n}{2}}=2,92325408^{\circ }\approx 2^{\circ }55'23,7''$

Для нахождения хорды (основания равнобедренного треугольника) воспользуемся формулами из случая «#Две стороны и угол между ними»:

$c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}$

$\cos \gamma =\cos n=\cos 5,846508^{\circ }\approx 0,99479835158594$

$c={\sqrt {(63,7\cdot 10^{5})^{2}+(63,7\cdot 10^{5})^{2}-2\cdot 63,7\cdot 10^{5}\cdot 63,7\cdot 10^{5}\cdot \cos 5,8465^{\circ }}}=$

$={\sqrt {8115,38\cdot 10^{10}-8115,38\cdot 10^{10}\cdot \cos 5,8465^{\circ }}}=$

$={\sqrt {42,193483696\cdot 10^{10}}}\approx 6,48\cdot 10^{5}m$

Ответ: $\alpha =2^{\circ }55'23,7''\approx 3^{\circ },$ расстояние по прямой (под землёй) составит $\approx 6,48\cdot 10^{5}m.$

Я отменил правки по следующим причинам.

1. Освещать «фантастический проект» в разделе «Примеры практического применения» как-то не очень логично.
2. Не указан источник. Можно было сослаться хотя бы на Якова Перельмана — помнится, в «Занимательной физике» он достаточно детально осветил этот проект.
3. Статья посвящена общим вопросам решения произвольных треугольников, а описанное вами решение задачи никак с этой темой не связано. Исключением является притянутое за уши использование теоремы косинусов, хотя длина хорды определяется гораздо проще, она равна $~2R\sin \sigma ,$ и любой квалифицированный читатель поднимет на смех Википедию за столь грубый ляп.
4. Вычисления чересчур детальны для энциклопедической статьи.
5. Оформление вставленного раздела крайне неряшливо. Центральный угол зачем-то имеет два разных обозначения: $2\sigma$ и $n,$ причём не указано, что этот угол измеряется в градусной мере. В начале раздела поставлена задача найти величину угла наклона, а в ответе сообщаются две величины. Наконец, не пояснён и не доказан ключевой факт алгоритма: искомый угол наклона вдвое меньше центрального угла. Хотя ранее вы меня упрекали за недостаточно подробный алгоритм. Иллюстрация тоже никуда не годится — на ней треугольник почему-то равносторонний, хотя в действительности его основание более чем в 10 раз меньше боковых сторон.

В силу перечисленного вставка удаляется. Рекомендую, после исправления указанных недочётов, перенести её как пример в статью о прямоугольных треугольниках. LGB (обс) 16:57, 13 сентября 2014 (UTC)

1. Это субъективная оценка. Таковыми - фантастическими - были в своё время полёт на Луну, строительство метро в Москве (нач. XX в.), утверждения шо Земля круглая… Но задача сама по себе жизненная, реальная (как наброски и проекты да Винчи, литературные «вымыслы» — научное прогнозирование Жюля Верна и проч.).
2. Обязательно ли? В «Решение треугольников#Примеры практического применения» источников не особо…
   а источник: Панов Д. Ю. Счётная линейка. — 25-е изд. — М.: изд-во Наука (Гл. ред. физ.-мат. литературы), 1982. — 176 с.
   Да и… Перельман Я. И. Занимательная физика. в 2-х кн. Кн. 2 / Под ред. А. В. Митрофанова. — 22-е изд., стер. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 272 с.
3. Связь прямая. И основана на теореме косинусов (представьте што там ни слова о хорде, мы его уберём).
4. Почему?? Дефицит бумаги (места на сервере); вычисления можна затереть (но зачем?).
   Когда вычисления черезчур скромны/стеснительны, они не дают ни малейшего представления о сути… см., наприм., историю — до нас и опосля. Непонятно как 1° делить на 60 (минут? секунд?)?!? ???
5. Центр. угол имеет тождественные обозначения для разных формул — в первую очередь для нахождения угла (из формулы длины окружности). И, естественно, не указывается, что этот угол измеряется в градусной мере; это по умолчанию… (а какие ещё могут быть меры… применительно к нашим примерам, формулам… Вас наверно ввело в замешательство формулы из Дуга окружности, но обратите внимание чем они отличаются: моя приведенная учитывает переходный множитель из rad в °: ${\frac {180^{\circ }}{\pi }}$ $($и/или ${\frac {\pi }{\displaystyle {180^{\circ }}}})$ …и потом радианная мера малораспространенная - почти не применяется). «искомый угол наклона вдвое меньше центрального угла» - это вытекает из условий задачи. Хотя если вы знакомы с выводами о подобных треугольниках, у вас меньше возникло бы вопросов. Треугольник является именно равнобедренным (рис. наглядный; масштабы и пропорции не выдержаны; в противном случае рисунок был бы громоздским). Этот треугольник делится ещё одним «радиусом»-высотой пополам; получается прямоугольный (подобный к прилегающему [основанию исходного] такому же прямоугольному). Т.е. угол у него - у прилегающего - в два раза меньше центрального 2α (и равен углу в поделённом прямоугольном).
   Затем, учтем ещё и выводы из свойств окружности и круга (они в математике/геометрии обычно рассматриваются вместе) — угол между касательной (в нашем примере она расположена под 90° к ОМ) и хордой (М—С.-П.) равен половине заключенной между ними дуги окружности. --De Riban5 (обс) 11:13, 16 сентября 2014 (UTC)

Судя по всему, нам не удастся придти к консенсусу. Предлагаю, на ваш выбор, два варианта завершения дискуссии.

1. Пригласите bezik как посредника или предложите иного арбитра.
2. Вынесите спор на обсуждение форума Проекта «Математика»: вот тут.

LGB (обс) 15:43, 16 сентября 2014 (UTC)

Вы написали претензии, мы на них ответили. Убедительных доводов [претензий/резона] как бы нету. я могу согласиться, шо раздел [вставка] сырые. Поймите нас… Ведь я не осуждаю, а обращаю внимание, обсуждаю, рассуждаю… (да и я не устал общаться в одиночку, и посему в посредниках-арбитрах как-бы особо не нуждаюсь) С наилучшими --De Riban5 (обс) 11:52, 22 сентября 2014 (UTC)

Преамбула

Для такой фундаментальной темы преамбула в три строчки — это, мягко говоря, странно. Там как минимум должно быть три абзаца, один из которых кратко описывает историю, второй — методики, третий — применение и вариации. — Voltmetro (обс.) 11:24, 25 февраля 2019 (UTC)

Преамбула, согласно правилам, должна кратко описать тему и структуру статьи и определить смысл основных терминов. Но специфика данной статьи заключается в том, что она имеет преимущественно информационно-алгоритмический характер и предполагает уровень подготовленного читателя, которому не надо объяснять смысл синуса и косинуса. Наверное, поэтому до сих пор никто не жаловался на недостаточно содержательную преамбулу.

О применении и вариациях — предлагайте свои варианты, с источниками. Методики для плоскости и сферы существенно разные, не вижу, что можно сказать такое, что верно в обоих случаях. Наконец, история вопроса настолько необъятна (см. История тригонометрии), что в преамбуле можно только поместить ссылку-указатель на соответствующий раздел статьи. Правда, этот вариант ничем не лучше строки оглавления «История». Приглашаю сообщество высказать своё мнение по существу обсуждения. LGB (обс.) 17:33, 25 февраля 2019 (UTC)