Биссектриса

Биссектриса (от лат. bi- «двойное», и sectio «разрезание») угла — луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла.

Биссектриса угла есть геометрическое место точек внутри угла, равноудалённых от сторон угла.

Свойства

Построение биссектрисы

• Теорема о биссектрисе: Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон
• Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке — инцентре — центре вписанной в этот треугольник окружности.
• Биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка — центр одной из трёх вневписанных окружностей этого треугольника.
• Основания биссектрис двух внутренних и одного внешнего углов треугольника лежат на одной прямой, если биссектриса внешнего угла не параллельна противоположной стороне треугольника.
• Если биссектрисы внешних углов треугольника не параллельны противоположным сторонам, то их основания лежат на одной прямой.
• Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный (теорема Штейнера — Лемуса).
• Построение треугольника по трем заданным биссектрисам с помощью циркуля и линейки невозможно, причём даже при наличии трисектора.

Вычисление длины биссектрисы

Биссектриса Треугольника ABC

Для выведения нижеприведённых формул можно воспользоваться теоремой Стюарта.

$l_c = {\sqrt{ab(a+b+c)(a+b-c)}\over{a+b}}$

$l_c = \sqrt{ab-a_lb_l}$

$l_c = \frac {2ab\cos\frac{\gamma}{2}}{a+b}$

$l_c = \frac {h_c}{\cos \frac {\alpha-\beta}{2}}$

где:

• $l_c$ — длина биссектрисы, проведённой к стороне $c$,
• $a, b, c$ — стороны треугольника против вершин $A, B, C$ соответственно,
• $p$ — полупериметр треугольника,
• $a_l, b_l$ — длины отрезков, на которые биссектриса $l_c$ делит сторону $c$,
• $\alpha, \beta, \gamma$ — внутренние углы треугольника при вершинах $A, B, C$ соответственно,
• $h_c$ — высота треугольника, опущенная на сторону $c$.

Мнемоническое правило

Биссектриса — это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам .

Облегчает запоминание формулировки. Чаще всего употребляется детьми.

Литература

• Коган Б. Ю. Приложение механики к геометрии. М.: Наука. 1965. 56 с.
• Понарин Я.П. Элементарная геометрия. В 2 тт.. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 30-31. — ISBN 5-94057-170-0