Биссектриса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Биссектри́са (от лат. bi- «двойное», и sectio «разрезание») угла — луч с началом в вершине угла, делящий угол на два равных угла[1]. Биссектриса угла — геометрическое место точек внутри угла, равноудалённых от сторон угла.

В треугольнике под биссектрисой угла может также пониматься отрезок биссектрисы этого угла до её пересечения с противолежащей стороной треугольника.

Свойства[править | править вики-текст]

Построение биссектрисы
  • Теорема о биссектрисе: Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон
  • Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке — инцентре — центре вписанной в этот треугольник окружности.
  • Биссектрисы одного внутреннего и двух внешних углов треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка — центр одной из трёх вневписанных окружностей этого треугольника.
  • Основания биссектрис двух внутренних и одного внешнего углов треугольника лежат на одной прямой, если биссектриса внешнего угла не параллельна противоположной стороне треугольника.
  • Если биссектрисы внешних углов треугольника не параллельны противоположным сторонам, то их основания лежат на одной прямой.
  • Если в треугольнике две биссектрисы равны, то треугольник — равнобедренный (теорема Штейнера — Лемуса).
  • Построение треугольника по трем заданным биссектрисам с помощью циркуля и линейки невозможно,[2] причём даже при наличии трисектора.[3]
  • В равнобедренном треугольнике биссектриса угла, противоположного основанию треугольника, является медианой и высотой.
  • Расстояния от сторон угла до любой точки биссектрисы одинаковы.
  • Каждая биссектриса треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении суммы прилежащих сторон к противолежащей, считая от вершины. 

Длина биссектрис в треугольнике[править | править вики-текст]

Биссектриса Треугольника ABC

Для выведения нижеприведённых формул можно воспользоваться теоремой Стюарта.

l_c = {\sqrt{ab(a+b+c)(a+b-c)}\over{a+b}}
l_c = \sqrt{ab-a_lb_l}
l_c = \frac {2ab\cos\frac{\gamma}{2}}{a+b}
l_c = \frac {h_c}{\cos \frac {\alpha-\beta}{2}}

где:

  • l_c — длина биссектрисы, проведённой к стороне c,
  • a, b, c — стороны треугольника против вершин A, B, C соответственно,
  • p — полупериметр треугольника,
  • a_l, b_l — длины отрезков, на которые биссектриса l_c делит сторону c,
  • \alpha, \beta, \gamma — внутренние углы треугольника при вершинах A, B, C соответственно,
  • h_c — высота треугольника, опущенная на сторону c.

Мнемоническое правило[править | править вики-текст]

Биссектриса — это крыса, которая бегает по углам и делит угол пополам[4].

Облегчает запоминание формулировки. Чаще всего употребляется детьми.

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]