Z-преобразование

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Z-преобразованием (преобразованием Лорана) называют свёртывание исходного сигнала, заданного последовательностью вещественных чисел во временно́й области, в аналитическую функцию комплексной частоты. Если сигнал представляет импульсную характеристику линейной системы, то коэффициенты Z-преобразования показывают отклик системы на комплексные экспоненты E(n)=z^{-n}=r^{-n}e^{-i\omega n}, то есть на гармонические осцилляции с различными частотами и скоростями нарастания/затухания.

Определение[править | править вики-текст]

Z-преобразование, как и многие интегральные преобразования, может быть задано как одностороннее и двустороннее

Двустороннее Z-преобразование[править | править вики-текст]

Двустороннее Z-преобразование X(z) дискретного временного сигнала x[n] задаётся как:

X(z)=Z\{x[n]\}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}.

где n — целое, z — комплексное число.

z=Ae^{j\varphi},

где A — амплитуда, а \varphi — угловая частота (в радианах на отсчёт)

Одностороннее Z-преобразование[править | править вики-текст]

В случаях, когда x[n] определена только для n\geqslant0, одностороннее Z-преобразование задаётся как:

X(z)=Z\{x[n]\} =\sum_{n=0}^{\infty}x[n]z^{-n}.

Обратное Z-преобразование[править | править вики-текст]

Обратное Z-преобразование определяется, например, так:

x[n]=Z^{-1}\{X(z)\}=\frac{1}{2\pi j}\oint\limits_{C}X(z)z^{n-1}\,dz,

где C — контур, охватывающий область сходимости X(z). Контур должен содержать все вычеты X(z).

Положив в предыдущей формуле z=re^{j\varphi}, получим эквивалентное определение: x[n]=\frac{r^n}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi X(re^{j\varphi})e^{jn\varphi}\,d\varphi.

Область сходимости[править | править вики-текст]

Область сходимости D представляет собой некоторое множество точек на комплексной плоскости, в которых выполнено условие:

D=\left\{z\colon\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}<\infty\right\},

то есть сумма по членам преобразования является конечной.

Пример 1 (без области сходимости)[править | править вики-текст]

Пусть x[n]=0{,}5^n. Раскрывая x[n] на интервале (-\infty,\;\infty), получаем

x[n]=\{\ldots,\;0{,}5^{-3},\;0{,}5^{-2},\;0{,}5^{-1},\;1,\;0,5,\;0{,}5^2,\;0{,}5^3,\;\ldots\}=\{\ldots,\;2^3,\;2^2,\;2,\;1,\;0{,}5,\;0{,}5^2,\;0{,}5^3,\;\ldots\}.

Смотрим на сумму:

\sum_{n=-\infty}^{\infty}x[n]z^{-n}=\infty.

Поэтому, не существует таких значений z, которые бы удовлетворяли условию сходимости.

Таблица некоторых Z-преобразований[править | править вики-текст]

Обозначения:

Сигнал, x[n] Z-преобразование, X(z) Область сходимости
1 \delta[n]\, 1\, \forall z\,
2 \delta[n-n_0]\, \frac{1}{z^{n_0}} z\neq 0\,
3 \theta[n]\, \frac{z}{z-1} |z|>1\,
4 a^n\theta[n]\, \frac{1}{1-az^{-1}} |z|>|a|\,
5 na^n\theta[n]\, \frac{az^{-1}}{(1-az^{-1})^2} |z|>|a|\,
6 -a^n\theta[-n-1]\, \frac{1}{1-az^{-1}} |z|<|a|\,
7 -na^n\theta[-n-1]\, \frac{az^{-1}}{(1-az^{-1})^2} |z|<|a|\,
8 \cos(\omega_0n)\theta[n]\, \frac{1-z^{-1}\cos(\omega_0)}{1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+z^{-2}} |z|>1\,
9 \sin(\omega_0n)\theta[n]\, \frac{z^{-1}\sin(\omega_0)}{1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+z^{-2}} |z|>1\,
10 a^n\cos(\omega_0n)\theta[n]\, \frac{1-az^{-1}\cos(\omega_0)}{1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+a^2z^{-2}} |z|>|a|\,
11 a^n\sin(\omega_0n)\theta[n]\, \frac{az^{-1}\sin(\omega_0)}{1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+a^2z^{-2}} |z|>|a|\,

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]