Кривая второго порядка

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Кривая второго порядка — геометрическое место точек плоскости, прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

~a_{11}x^2 + a_{22}y^2+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0,

в котором по крайней мере один из коэффициентов a_{11},~a_{12},~a_{22} отличен от нуля.

История[править | править вики-текст]

Впервые кривые второго порядка изучались Менехмом, учеником Евдокса.[1][2] Его работа заключалась в следующем: если взять две пересекающиеся прямые и вращать их вокруг биссектрисы угла, ими образованного, то получится конусная поверхность. Если же пересечь эту поверхность плоскостью, то в сечении получаются различные геометрические фигуры, а именно эллипс, окружность, парабола, гипербола и несколько вырожденных фигур (см. ниже).

Однако эти научные знания нашли применение лишь в XVII веке, когда стало известно, что планеты движутся по эллиптическим траекториям, а пушечный снаряд летит по параболической. Ещё позже стало известно, что если придать телу первую космическую скорость, то оно будет двигаться по окружности вокруг Земли, при увеличении этой скорости — по эллипсу, при достижении второй космической скорости — по параболе, а при скорости, большей второй космической — по гиперболе.

Инварианты[править | править вики-текст]

Вид кривой зависит от четырёх инвариантов:

Характеристическая квадратичная форма и характеристическое уравнение[править | править вики-текст]

Многие важные свойства кривых второго порядка могут быть изучены при помощи характеристической квадратичной формы, соответствующей уравнению кривой

F_0(x,\,y) = a_{11}x^2 + 2a_{12}xy + a_{22}y^2.

Так, например, невырожденная кривая \left(\Delta\ne0\right) оказывается вещественным эллипсом, мнимым эллипсом, гиперболой или параболой в зависимости от того, будет ли F_0(x,\,y) положительно определённой, отрицательно определённой, неопределённой или полуопределённой квадратичной формой, что устанавливается по корням характеристического уравнения:

\begin{vmatrix} a_{11} - \lambda & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} - \lambda \end{vmatrix} = 0

или

\lambda^2 - I\lambda + D = 0.

Корни этого уравнения являются собственными значениями вещественной симметричной матрицы

\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & a_{22} \end{pmatrix}

и, как следствие этого, всегда вещественны.[3]

Классификация кривых второго порядка[править | править вики-текст]

Невырожденные кривые[править | править вики-текст]

Кривая второго порядка называется невырожденной, если \Delta\ne0. Могут возникать следующие варианты:

  • Невырожденная кривая второго порядка называется центральной, если \Delta I\not=0
  • Невырожденная кривая второго порядка называется нецентральной, если \Delta I=0

Вырожденные кривые[править | править вики-текст]

Кривая второго порядка называется вырожденной, если \Delta=0. Могут возникать следующие варианты:

Диаметры и центр кривой второго порядка[править | править вики-текст]

Диаметром кривой второго порядка называется геометрическое место середин параллельных хорд этой кривой. Полученный таким образом диаметр называется сопряжённым этим хордам или их направлению. Диаметр, сопряжённый хордам, образующих угол \theta с положительным направлением оси Ox, определяется уравнением:

\left(a_{11}x + a_{12}y +a_{13}\right) \cos\theta + \left(a_{12}x + a_{22}y +a_{23}\right) \sin\theta = 0.

Если выполняется условие D\ne0, то все диаметры кривой пересекаются в одной точке — центре, а сама кривая называется центральной. В противном случае (D=0) все диаметры кривой либо параллельны, либо совпадают.

Координаты центра \left(x_0,\;y_0\right) определяются системой уравнений:

\begin{cases} a_{11}x_0 + a_{12}y_0 + a_{13} = 0 \\ a_{12}x_0 + a_{22}y_0 + a_{23} = 0 \end{cases}

Решая эту систему относительно x_0 и y_0, получим:

\begin{align}
x_0 = - \frac{1}{D} \begin{vmatrix} a_{13} & a_{12} \\ a_{23} & a_{22} \end{vmatrix} = \frac{a_{12}a_{23} - a_{13}a_{22}}{D} \\
y_0 = - \frac{1}{D} \begin{vmatrix} a_{11} & a_{13} \\ a_{12} & a_{23} \end{vmatrix} = \frac{a_{13}a_{12} - a_{11}a_{23}}{D}
\end{align}\;\;\;(D\ne0).

Если кривая центральная, то перенос начала координат в её центр приводит уравнение к виду

a_{11} \bar x^2 + 2a_{12} \bar x \bar y + a_{22} \bar y^2 + \frac{\Delta}{D} = 0,\;\;\;\bar x = x - x_0,\;\;\;\bar y = y - y_0,

где \bar x,\;\bar y — координаты относительно новой системы.

Главные оси и вершины кривой второго порядка[править | править вики-текст]

Главной осью кривой второго порядка называется её диаметр, перпендикулярный к сопряжённым к ним хордам. Этот диаметр является осью симметрии кривой. Каждая центральная кривая \left(D\ne0\right) либо имеет две взаимно перпендикулярные оси, либо все диаметры являются главными осями. В последнем случае кривая является окружностью. Нецентральные кривые \left(D=0\right) имеют лишь одну главную ось. Точки пересечения главной оси с самой кривой называются её вершинами.

Направляющие косинусы нормалей к главным осям удовлетворяют уравнениям

\begin{cases} \left(a_{11} - \lambda\right) \cos \theta + a_{12} \sin \theta = 0 \\ a_{12} \cos \theta + \left(a_{22} - \lambda\right) \sin \theta = 0 \end{cases},

где \lambda — отличный от нуля корень характеристического уравнения. Направления главных осей и сопряжённых им хорд называются главными направлениями кривой. Угол между положительным направлением оси Ox и каждым из двух главных направлений определяется формулой

\operatorname{tg}2\phi = \operatorname{tg}2\theta = \frac{2a_{12}}{a_{11}-a_{22}}.

Из всех видов кривых второго порядка только окружность имеет неопределённые главные направления.

Уравнения[править | править вики-текст]

Общее уравнение в матричном виде[править | править вики-текст]

Общее уравнение кривой можно записать в матричном виде

\begin{pmatrix} x & y & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{12} & a_{22} & a_{23} \\ a_{13} & a_{23} & a_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix} = 0.

Канонический вид[править | править вики-текст]

Вводом новой системы координат можно привести уравнения кривых второго порядка к стандартному каноническому виду (см. таблицу). Параметры канонических уравнений весьма просто выражаются через инварианты \Delta,\;D,\;I и корни характеристического уравнения \lambda_1 \geqslant \lambda_2 (см. выше раздел «Характеристическая квадратичная форма и характеристическое уравнение»).

Вид кривой Каноническое уравнение Инварианты
Невырожденные кривые (\Delta\ne0)
Эллипс \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,\;\; \begin{cases} a^2 = - \frac{1}{\lambda_2}\frac{\Delta}{D} = -\frac{\Delta}{\lambda_1\lambda^2_2} \\ b^2 = - \frac{1}{\lambda_1}\frac{\Delta}{D} = -\frac{\Delta}{\lambda^2_1\lambda_2} \end{cases} \begin{array}{l} \Delta = -a^4b^4 \\ D = a^2b^2 \\ I = a^2+b^2 \end{array}
Гипербола \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,\;\; \begin{cases} a^2 =  - \frac{1}{\lambda_1}\frac{\Delta}{D} = -\frac{\Delta}{\lambda^2_1\lambda_2} \\ b^2 = \frac{1}{\lambda_2}\frac{\Delta}{D} = \frac{\Delta}{\lambda_1\lambda^2_2} \end{cases} \begin{array}{l} \Delta = a^4b^4 \\ D = -a^2b^2 \\ I = b^2 - a^2 \end{array}
Парабола y^2=2px,\;\; p=\frac{1}{I}\sqrt{-\frac{\Delta}{I}} = \frac{1}{\lambda_1}\sqrt{-\frac{\Delta}{\lambda_1}} > 0,\;\; \lambda_2=0 \begin{array}{l} \Delta = p^2 \\ D = 0 \\ I = 1 \end{array}
Вырожденные кривые (\Delta=0)
Точка \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0 \begin{array}{l} \Delta = 0 \\ D = a^2b^2 \\ I = a^2+b^2 \end{array}
Две пересекающиеся прямые \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0 \begin{array}{l} \Delta = 0 \\ D = -a^2b^2 \\ I = b^2 - a^2 \end{array}
Две параллельные прямые \frac{x^2}{a^2}=1 \begin{array}{l} \Delta = 0 \\ D = 0 \\ I = 1 \end{array}
Одна прямая x^2=0 \begin{array}{l} \Delta = 0 \\ D = 0 \\ I = 1 \end{array}

Для центральной кривой в каноническом виде её центр \left(x_0,\;y_0\right) находится в начале координат.

Через эксцентриситет[править | править вики-текст]

Каноническое уравнение любой невырожденной кривой второго порядка при помощи подходящего преобразования начала координат может быть приведено к виду

y^2=2px-(1-\varepsilon^2)x^2\ \ (p>0).

В этом случае кривая проходит через начало новой системы координат, а ось Ox является осью симметрии кривой. Данное уравнение выражает тот факт, что невырожденная кривая второго порядка является геометрическим местом точек, отношение расстояний которых \varepsilon \geqslant 0 (эксцентриситет) от данной точки (фокуса) и от данной прямой (директрисы) постоянно. Кроме того, при \varepsilon = 0 кривая является окружностью, при \varepsilon < 1 — эллипсом, при \varepsilon = 1 — параболой, при \varepsilon > 1 — гиперболой.

Уравнение директрисы кривой выражается уравнением x = - \frac{p}{\varepsilon \left( 1 + \varepsilon \right)}, а координаты фокуса x=\frac{p}{1+\varepsilon}, \;\; y = 0. Директриса перпендикулярна оси симметрии, проходящей через фокус и вершину кривой (фокальная ось). Расстояние между фокусом и директрисой равно \frac{p}{\varepsilon}.

Если кривая второго порядка центральная (эллипс или гипербола), то прямая

x = \frac{p}{1 - \varepsilon^2} = a

является осью симметрии и, следовательно, кривая имеет два фокуса и две директрисы.

Параметр p называется фокальным параметром и равен половине длины хорды, проходящей через фокус и перпендикулярной к фокальной оси (фокальная хорда).

Полярные координаты[править | править вики-текст]

Если взять в качестве полюса полярной системы координат \left(\rho,\phi\right) фокус невырожденной кривой второго порядка, а в качестве полярной оси — её ось симметрии, то в полярных координатах \rho, \phi уравнение кривой будет иметь вид

\rho=\frac{p}{1 + \varepsilon \cos \phi}.

Кривая, заданная своими пятью точками[править | править вики-текст]

Кривая второго порядка вполне определяется пятью своими точками, если никакие четыре из них не лежат на одной прямой. Уравнение кривой, проходящей через точки \left( x_1, y_1 \right), \left( x_2, y_2 \right), \left( x_3, y_3 \right), \left( x_4, y_4 \right) и \left( x_5, y_5 \right):

\begin{vmatrix} x^2 & xy & y^2 & x & y & 1 \\ x_1^2 & x_1y_1 & y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2^2 & x_2y_2 & y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\ x_3^2 & x_3y_3 & y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \\ x_4^2 & x_4y_4 & y_4^2 & x_4 & y_4 & 1 \\ x_5^2 & x_5y_5 & y_5^2 & x_5 & y_5 & 1 \end{vmatrix} = 0.

Кривая, заданная пятью точками вырождается в том и только в том случае, когда три из заданных точек лежат на одной прямой.

Касательные и нормали[править | править вики-текст]

Уравнение касательной к кривой второго порядка f(x,y) в её точке \left(x_1, y_1\right) имеет вид:

\left(a_{11}x_1+a_{12}y_1+a_{13}\right) x + \left(a_{12}x_1+a_{22}y_1+a_{23}\right) y + \left(a_{13}x_{1}+a_{23}y_{1}+a_{33}\right) = 0.

Уравнение нормали к кривой второго порядка в точке \left(x_1, y_1\right) имеет вид

\frac{x-x_{1}}{a_{11}x_{1}+a_{12}y_{1}+a_{13}}=\frac{y-y_{1}}{a_{12}x_{1}+a_{22}y_{1}+a_{23}}.

Полюсы и поляры[править | править вики-текст]

Уравнение

\left(a_{11}x_1+a_{12}y_1+a_{13}\right) x + \left(a_{12}x_1+a_{22}y_1+a_{23}\right) y + \left(a_{13}x_{1}+a_{23}y_{1}+a_{33}\right) = 0

помимо касательной определяет прямую, называемую полярой точки \left(x_1, y_1\right) относительно кривой второго порядка, независимо от того, лежит ли эта точка на кривой или нет. При этом точка \left(x_1, y_1\right) называется полюсом этой прямой. Поляра точки кривой есть её касательная в этой точке.

Теоремы о полюсах и полярах:[источник не указан 447 дней]

  1. Если прямая, проведённая через полюс P, пересекает поляру в точке Q, а кривую второго порядка — в точках R_1 и R_2, то точки P и Q гармонически разделяют отрезок R_1R_2, то есть выполняется условие
    \frac{R_1P}{PR_2}=-\frac{R_1Q}{QR_2}.
  2. Если точка лежит на некоторой прямой, то её поляра проходит через полюс этой прямой. Если прямая проходит через некоторую точку, то её полюс лежит на поляре этой точки.
  3. Диаметр кривой второго порядка есть поляра бесконечно удалённой точки, через которую проходят сопряжённые ему хорды, а центр кривой есть полюс бесконечно удалённой прямой.
  4. Фокус кривой есть центр пучка, обладающего тем свойством, что полюс любой его прямой принадлежит перпендикулярной к ней прямой пучка. Директрисса есть поляра фокуса.

Из этих утверждений, в частности, следует, что:

  1. если через точку можно провести две касательные к кривой, то поляра этой точки проходит через точки касания;
  2. касательные к кривой в концах диаметра параллельны сопряжённым ему хордам;
  3. точка пересечения касательных к кривой в концах любой её хорды, проходящей через фокус, лежит на директриссе;
  4. каждая хорда, проходящая через фокус, перпендикулярна к прямой, проведённой через её фокус и точку пересечения касательных в концах хорды.

Теоремы, связанные с кривыми второго порядка[править | править вики-текст]

  • Теорема Паскаля: точки пересечения противоположных сторон шестиугольника, вписанного в кривую второго порядка, лежат на одной прямой.
  • Теорема Брианшона: диагонали, проходящие через противоположные вершины шестиугольника, описанного около кривой второго порядка, пересекаются в одной точке.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Корн Г., Корн Т. Кривые второго порядка (конические сечения) // Справочник по математике. — 4-е издание. — М: Наука, 1978. — С. 64—69.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Б. А. Розенфельд, Аполлоний Пергский, М.: МЦНМО, 2004, c. 32.
  2. Джон Дж. О’Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон. Menaechmus (англ.) — биография в архиве MacTutor.
  3. Корн Г., Корн Т. 2.4-5. Характеристическая квадратичная форма и характеристическое уравнение // Справочник по математике. — 4-е издание. — М: Наука, 1978. — С. 64.