Поверхность вращения

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия (не проверялась)

Поверхность вращения — поверхность, образуемая при вращении вокруг прямой (оси поверхности) произвольной линии (прямой, плоской или пространственной кривой). Например, если прямая пересекает ось вращения, то при её вращении получится коническая поверхность, если параллельна оси — цилиндрическая, если скрещивается с осью — однополостный гиперболоид вращения. Одна и та же поверхность может быть получена вращением самых разнообразных кривых.

Является объектом изучения в математическом анализе, аналитической и начертательной геометрии ^[1]

[править] Примеры

[править] Площадь

Площадь поверхности вращения, образованной вращением плоской кривой конечной длины вокруг оси, лежащей в плоскости кривой, но не пересекающей кривую, равна произведению длины кривой на длину окружности с радиусом, равным расстоянию от оси до центра масс кривой. Это утверждение называется второй теоремой Гюльдена, или теоремой Паппа о центроиде.

Например, для тора с радиусами $r, R\,$ , площадь поверхности равна

$S=(2\pi r)\cdot(2\pi R) = 4\pi^2 r R$ .

Площадь поверхности вращения, образованной вращением кривой $y=f(x),\ a\le x \le b$ вокруг оси $0x\,$ можно вычислить по формуле

$S=2\pi\int\limits_a^b f(x) \sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2}dx$

Площадь поверхности вращения, образованной вращением кривой $x=x(t),\ y=y(t),\ \alpha\le t \le\beta$ вокруг оси $0x\,$ можно вычислить по формуле

$S=2\pi\int\limits_\alpha^\beta y(t) \sqrt{\left(x'(t)\right)^2+\left(y'(t)\right)^2}dt$

[править] Объём

Объём ограниченный поверхностью вращения, образованной вращением плоской замкнутой несамопересекающейся кривой вокруг оси, лежащей в плоскости кривой, но не пересекающей кривую, равен произведению площади плоской фигуры, ограниченной кривой, на длину окружности с радиусом, равным расстоянию от оси до центра тяжести плоской фигуры.

Объём поверхности вращения, образованной вращением кривой $y=f(x),\ a\le x \le b$ вокруг оси $0x\,$ можно вычислить по формуле

$V=\pi\int\limits_a^b f^2(x) dx$

[править] Примечания

↑ СГАУ «Курс лекций по начертательной геометрии» Губанов А.Н. под руководством Чемпинского Л.А. ссылка проверена 9 февраля 2009

[SGAU1-0] СГАУ «Курс лекций по начертательной геометрии» Губанов А.Н. под руководством Чемпинского Л.А. ссылка проверена 9 февраля 2009

[1]

Поверхность вращения

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Содержание

[править] Примеры

[править] Площадь

[править] Объём

[править] Примечания

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Участие

Инструменты

На других языках