Поверхность вращения

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Поверхность вращения — поверхность, образуемая при вращении вокруг прямой (оси поверхности) произвольной линии (прямой, плоской или пространственной кривой). Например, если прямая пересекает ось вращения, то при её вращении получится коническая поверхность, если параллельна оси — цилиндрическая, если скрещивается с осью — однополостный гиперболоид вращения. Одна и та же поверхность может быть получена вращением самых разнообразных кривых.

Является объектом изучения в математическом анализе, аналитической и начертательной геометрии[1]

Примеры[править | править вики-текст]

Площадь[править | править вики-текст]

Площадь поверхности вращения, образованной вращением плоской кривой конечной длины вокруг оси, лежащей в плоскости кривой, но не пересекающей кривую, равна произведению длины кривой на длину окружности с радиусом, равным расстоянию от оси до центра масс кривой. Это утверждение называется второй теоремой Паппа — Гульдина, или теоремой Паппа о центроиде.

Например, для тора с радиусами r, R\,, площадь поверхности равна

S=(2\pi r)\cdot(2\pi R) = 4\pi^2 r R.

Площадь поверхности вращения, образованной вращением кривой y=f(x),\ a\le x \le b вокруг оси 0x\, можно вычислить по формуле

S=2\pi\int\limits_a^b f(x) \sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2}dx


Площадь поверхности вращения, образованной вращением кривой x=x(t),\ y=y(t),\ \alpha\le t \le\beta вокруг оси 0x\, можно вычислить по формуле

S=2\pi\int\limits_\alpha^\beta y(t) \sqrt{\left(x'(t)\right)^2+\left(y'(t)\right)^2}dt

Для случая, когда кривая задана в полярной системе координат r=\rho(\varphi),\ \alpha\le \varphi \le\beta действительна формула

S=2\pi\int\limits_\alpha^\beta \rho(\varphi) |\sin\varphi| \sqrt{\left(\rho(\varphi)\right)^2+\left(\rho'(\varphi)\right)^2}d\varphi

Объём[править | править вики-текст]

Объём, ограниченный поверхностью вращения, образованной вращением плоской замкнутой несамопересекающейся кривой вокруг оси, лежащей в плоскости кривой, но не пересекающей кривую, равен произведению площади плоской фигуры, ограниченной кривой, на длину окружности с радиусом, равным расстоянию от оси до центра тяжести плоской фигуры.

Объём поверхности вращения, образованной вращением кривой y=f(x),\ a\le x \le b вокруг оси 0x\, можно вычислить по формуле

V=\pi\int\limits_a^b f^2(x) dx

Примечания[править | править вики-текст]